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时间:2020-03-19
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1、二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离d=<r;性质2:由消元得到一元二次方程的判别式Δ>0;性质3:若直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,半径为r,弦长为
2、AB
3、,则有2+d2=r2,二、典例练习[例] 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.解析:法一:法二:[练习]已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程.解析:[练习已知某圆圆心在x轴上,半径长为5,且截y
4、轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.解析:三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为
5、AB
6、,则有2+d2=r2,即
7、AB
8、=2.(2)代数法:如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则
9、AB
10、==
11、x1-x2
12、=
13、y1-y2
14、(直线l的斜率k存在).二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1:直线与圆相交,则圆心到直线的距离d=<r;性质2:由消元得到一元二次方程的判别式Δ>0;性质3:若直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,半径为r,弦
15、长为
16、AB
17、,则有2+d2=r2,二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.[解] (1)法一:(几何法)如图所示,过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k=tan135°=-1,∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.∵圆心为(0,0),∴
18、OC
19、==.∵r=2,∴
20、BC
21、==,∴
22、AB
23、=2
24、BC
25、=.法二:(代数法)当α=135°时,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1,代入x2+y2=8,
26、得2x2-2x-7=0.∴x1+x2=1,x1x2=-,∴
27、AB
28、=
29、x1-x2
30、==.(2)如图,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB,∵kOP=-2,∴kAB=,∴直线AB的方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0.[练习已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2,求圆C的方程.解:设圆心坐标为(3m,m).∵圆C和y轴相切,得圆的半径为3
31、m
32、,∴圆心到直线y=x的距离为=
33、m
34、.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2=7+2m2,∴m=±1,∴所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.[练习已知某圆圆心在x
35、轴上,半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.[解] 法一:如图所示,由题设
36、AC
37、=r=5,
38、AB
39、=8,∴
40、AO
41、=4.在Rt△AOC中,
42、OC
43、===3.设点C坐标为(a,0),则
44、OC
45、=
46、a
47、=3,∴a=±3.∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25.法二:由题意设所求圆的方程为(x-a)2+y2=25.∵圆截y轴线段长为8,∴圆过点A(0,4).代入方程得a2+16=25,∴a=±3.∴所求圆的方程为(x+3)2+y2=25,或(x-3)2+y2=25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图1,直线l与圆C交
48、于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为
49、AB
50、,则有2+d2=r2,即
51、AB
52、=2.(2)代数法:如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则
53、AB
54、==
55、x1-x2
56、=
57、y1-y2
58、(直线l的斜率k存在).
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