直线与圆相交弦长问题.doc

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1、二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d＝＜r；性质2：由消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦长为

2、AB

3、，则有2＋d2＝r2，二、典例练习[例]　已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解析：法一：法二：[练习]已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．解析：[练习已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y

4、轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为

5、AB

6、，则有2＋d2＝r2，即

7、AB

8、＝2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

9、AB

10、＝＝

11、x1－x2

12、＝

13、y1－y2

14、(直线l的斜率k存在)．二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d＝＜r；性质2：由消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，半径为r，弦

15、长为

16、AB

17、，则有2＋d2＝r2，二、典例与练习[例]　已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．[解]　(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线的斜率为k＝tan135°＝－1，∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.∵圆心为(0,0)，∴

18、OC

19、＝＝.∵r＝2，∴

20、BC

21、＝＝，∴

22、AB

23、＝2

24、BC

25、＝.法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，

26、得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，∴

27、AB

28、＝

29、x1－x2

30、＝＝.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝，∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[练习已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．解：设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3

31、m

32、，∴圆心到直线y＝x的距离为＝

33、m

34、.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.[练习已知某圆圆心在x

35、轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]　法一：如图所示，由题设

36、AC

37、＝r＝5，

38、AB

39、＝8，∴

40、AO

41、＝4.在Rt△AOC中，

42、OC

43、＝＝＝3.设点C坐标为(a,0)，则

44、OC

45、＝

46、a

47、＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交

48、于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为

49、AB

50、，则有2＋d2＝r2，即

51、AB

52、＝2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

53、AB

54、＝＝

55、x1－x2

56、＝

57、y1－y2

58、(直线l的斜率k存在)．