乘积空间上的混合测度和维数

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1、第一章引言4自然界中出现的诸如云层的边界，山脉的轮廓，雪花，海岸线等不规则的几何形体，都难以用经典几何中的直线．光滑曲线．光滑曲面来描述．同时，大量不同类型及不规则的几何对象常常出现在自然科学的不同领域中：如数学中非线性问题中出现的吸引子，流体力学中出现的湍流，物理中临界现象与相变，化学中酶与蛋白质的构造，生物中细胞的生长，工程技术中信号处理，噪声分析等等．长期以来，人们试图将它们纳入经典几何的框架中研究，结果发现，由此导出的模型即使在近似的情形，无论在理论上还是在实践中，均难以处理所接触的实际情形

2、．另一方面．人们已注意到不规则的集合往往能够提供许多研究自然现象的更好的描述．早在19世纪中叶，Cantor三分集，Koch曲线以及Weierstrass无处可微连续函数等这些“病态”的曲线集合已经逐步为人们所了解．Cantor，Weierstrass，Peano，Hausdorff等人的工作为分形概念和理论的诞生奠定了基础．20世纪80年代初，主要由美籍法裔数学家Mandelbrot色EJ立的分形几何提供了研究这类不规则几何对象的思想，方法和技巧．特别是在近几年来，这一新兴学科在数学，物理，化学，

3、生物，医学，地质等学科中获得了巨大成功同时，不同学科中提出的大量问题刺激了分形几何的深入发展．关于分形几何的理论论述和它在各学科中的应用可以参看文献『l一61．分形几何中，各种分形测度和与之有关的分形维数的研究起着非常重要的作用．常见的分形维数有Hausdouff维数DimH，上、下计盒维数di“l_、dimB，填充维数Dimp．其中Hausdorf潍数是最为重要的维数，它是Hausdorftt7i在1919年用覆盖集合的方式定义的，但Hansdorff维数的计算极为困难例如Weierstrass函

4、数图象是一个典型的分形，其计盒维数和填充维数都已求出，然Hansdorff维数至今未知．和Hausdorff维数不同，1982年，7IHcot【8J用填充的方式定义了填充测度和填充维数．这种测度和维数与Hausdorff测度和维数有着很多对偶关系．文献『91对定义在闭区间[o，1】中的连续函数的图象r，={(o，，(z)：z∈[0，1】)引入了⋯种测度，称之为K8一测度(1≤s≤2)，从而得到一个相应的耳．维数．证明了n维数是}=t：Hansdorff维数太而比下计盒维数小的一种分形维数．并且可以严

5、格计算Weierstrass类函数图象的K．维数．但是，K一维数只对平面函数图像r，的Borel子集有定义，不适合研究一般的平面Borel集，更无法用于高维欧氏空间．我们在乘积空间Rd=冗”×Rn(d=m+n)中，将覆盖和填充两种测量集合的方法结合起来，得到一种新的测度，从而诱导了一种新的维数．分别称之为混合测度和混合维数．我们证明了混合测度是一种度量外测度，讨论了混合维数的一些基本性质，并比较了混合维数和Hausdor雠5数，上、下计盒维数，填充维数以及K，维数的关系，证实混合维数是最接近王Iau

6、sdorff．',准数的一种分形维数，最后我们还严格计算出Weierstrass函数图象的混合维数．另一方面，分形几何中，一部分重要的内容是和各种分形维数有关的乘积公式，Mastrand[101给出一般情形下Hausdor雠数的乘积公式：DimHE×F≥DimHE+DhnHF由文献【3]可知，如果E，F中有一个是正则集(即集合的Hausdorff皇f苣数和填充维数相同)，则上面等号成立．Xu，Ren[¨tlDHowroyd[12吩别给出了下面形式的填充维数的乘积公式：DimpE×F≤DimpE十Di

7、mpF在本文中，我们也推导出预混合维数和混合维数的乘积公式．本文的主要内容有，第三章定义了预混合测度mes赫和混合测度Mes江以及预混合维数dim船和混合维数Dimi口．证明了预混合维数和混合维数具有一般分形维数的基本性质：(1)若Ec冗4，则0SDim船E≤dim船E≤咄(2)单调性：若ECF，则有'dim船E≤dimt扭F，Diml-lpE≤Dim／护F；(3)有限稳定性：若E，FcRd，则dim衄EuF=max{dim皿E，dimHBF)(4)可列稳定性：设{￡k)^!o为一集列，则Dim肝龆

8、峨；s^u>p。{磷m呼取)^>0“：。第四章，我们比较了(预)混合维数和其他维数的关系，得到下面的不等式DimHE≤dim／四E≤climbE≤dim百E=dimpE，DimHE≤Dim／护E≤DimBE≤Dim百E=DimpE中DimH，di“百，dim_口，dimP分别表示HausdorIf维数，上、下计盒维数，预填充维数．而Dim_1Dim_B，Dimp依次表示修正的上、下计盒维数和填充维数．从中可以看出6混合维数是最接：}匠_Hausdor雠数的一种分形维数