一般从属过程占时测度的乘积测度的重分形结构

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1、中国科学A辑:数学2009年第39卷第6期:689∼699www.scichina.commath.scichina.com一般从属过程占时测度的乘积测度的重分形结构孔令涛,胡晓予∗中国科学院研究生院数学科学学院,北京100049E-mail:xyhu@gucas.ac.cn收稿日期:2008-03-06;接受日期:2008-10-17;*通信作者国家自然科学基金(批准号:10871200)资助项目摘要本文主要研究了两个相互独立的从零点出发的一般从属过程的轨道性质及它们的占时测度乘积的重分形谱.关键词一般从属过程占时测度Hausdorff维数重分形谱

2、MSC(2000)主题分类28A80,60G171引言本文中用ci,i=1,2,...表示常数.设X是从零点出发的从属过程,即X是直线上轨道单增的平稳独立增量过程且X(0)=∞0.X的Laplace变换为:Ee−uX(t)=e−tg(u),其中g(u)=(1−e−ux)ν(dx),ν为L´evy测0度,g(u)称为X(t)的Laplace指数,g(u)是单调增函数.从属过程X(t)有两个重要指标:σ=sup{α:u−αg(u)→∞,当u→∞时},β=inf{α:u−αg(u)→0,当u→∞时},(1)称σ(β)为X的下(上)指标.定义X的占时测度

3、为:m(A)=L({t∈[0,1]:X(t)∈A}),A是实空间R上的Borel集,L为Lebesgue测度.对任意测度m,suppm表示测度m的支撑,集合logm(B(x,r))A(m,α)=x∈suppm:lim=αr→0logr称为suppm的谱分解,其中B(x,r)表示中心为x,半径为r的球,A(m,α)的分形维数称为重分形谱.更多细节参见文献[1].令h(r)=1,S={t∈[0,1]:limsuplogm(B(x,r))γ}(1γ2),m为一般从属g(1)γr→0log(h(r))r过程X的占时测度,Hu[2]研究了薄点集合S

4、的重分形结构并得到了如下结果:γ(1)以概率1:2dimSγ=−1,1γ2,(2)γ引用格式:孔令涛,胡晓予.一般从属过程占时测度的乘积测度的重分形结构.中国科学A,2009,39(6):689–699KongLT,HuXY.Multifractalanalysisoftheproductmeasureoftwogeneralsubordinators.SciChinaSerA,2009,52,DOI:10.1007/s11425-009-0072-0孔令涛等:一般从属过程占时测度的乘积测度的重分形结构其中dim表示Hausdorff维数;(2)

5、以概率1:logm(B(x,r))logm(B(x,r))liminf=σ,βlimsup2β,∀x∈suppm.(3)r→0logrr→0logrMarsalle[3]研究了一类从属过程的厚点问题.设X1和X2为两个直线上从零点出发的相互独立的一般从属过程,μi是Xi的占时测度,g(u)为X的Laplace指数,f(u)=1,β和σ分别为X的上、下指标,i=1,2.令iiig1iiii()uμ=μ1×μ2,下面我们定义测度μ的下、上局部密度:logμ(B(x,r))logμ(B(x,r))d(μ,x)=liminf,d(μ,x)=limsup

6、.r→0logrr→0logr易知对任意x=(x,x)∈R2,12logμ1(B(x1,r))μ2(B(x2,r))d(μ,x)=liminf,r→0logrlogμ1(B(x1,r))μ2(B(X2,r))d(μ,x)=limsup.(4)r→0logr我们定义:logμ(B(x,r))logμ(B(x,r))R(μ,x)=liminf,R(μ,x)=limsup,(5)r→0logf(r)r→0logf(r)2logμ(B((X1(t1),X2(t2)),r))Tγ=(t1,t2)∈[0,1],limsupγ,1γ2,(6)r→0lo

7、gf(r)其中f(r)=f1(r)f2(r).由(3)和(4)式我们可以得到如下结论:对几乎所有的ω,d(μ,x)σ1+σ2,d(μ,x)2(β1+β2),∀x∈suppμ.(7)自然地就有下面这个问题:对于测度μ是否能够得到类似于(2)和(3)式的结果？在适当的条件下我们的确可以得到类似于(2)和(3)式的结果.下面就是所需要的条件:条件K1称X1与X2满足条件K1,如果存在在一列趋向于正无穷的数列{ui}满足:logg1(ui)logg2(ui)→σ1,→σ2,当i→+∞时;(8)loguilogui条件K2称X1与X2满足条件K2,如果存

8、在一列趋向于正无穷的数列{ui}满足:logg1(ui)logg2(ui)→β1,→β2,当i→+∞时;(9)loguil