测度空间上的拓扑序列熵

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1、中国科学技术大学学问论文相关声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已经在论文中作了明确的说明。本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后也遵守此规定。作者签名：堕丝z叩年夕月，。日致谢借此论文完成之际，我要衷心感谢导师叶向东教授的悉·

2、b指导．自从2004年开始对拓扑动力系统和遍历论的学习，叶老师在学习和生活上均给予我极大的关怀和帮助．在这三年的学习中，叶老师渊博的知识，谦逊的为人，敏锐的洞察力和严谨的治学态度，都给我留下了jE常深刻的印象，并将会始终激励着我．谨向他致以崇高的敬意和衷心的感谢l在此，还要感谢黄文和邵松副教授几年来传授了我系统的专业知识，使我受益匪浅；感谢张国华师兄在论文写作期间给予的大量的指导和帮助；感谢匡瑞，窦斗，张瑞丰和张玉成师兄在学习中的指点和生活上的照顾；感谢数学系各位老师从我来到科大以来的教导和帮助；感谢陪伴多年的同学一直以来对我的关心和鼓励．最后，我要深深感谢我的父母，感谢他们多年来对我细致入微

3、的关怀和教育．他们为我的成长付出了极大的心血，没有他们无私的爱与默默的支持，我是不能顺利完成学业的．2007年5月引言动力系统是诸如空气动力学，澎体力学，电气动力学等物理研究的理想化模型。动力系统理论处理的是系统的长期行为．一个系统所有可能的状态全体构成空间X，而系统的演化则由变换T：X—X表示，其中7k表示当系统在零时刻为状态z时在时刻1时的状态．如果时间是连续变化时，可以考虑x到自身的一族单参数映射{正：t∈醒}．当控制系统行为的法则不随时间变化时，自然的可以假定D“=E丑，于是{正：t∈R'为一个流，或者是x上的R作用．单个的(可逆)变换T：X—X也决定了—个群作用，称为Z作用．也可以考

4、虑更广泛的情形：任意的群作用，或者是变换不全可逆时的半群作用．但在本文中，我们只考虑z作用和R作用．动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，牛顿的运动三大定律以及万有引力定律给予了系统动力学研究最初的动力．在牛顿的理论中．一个系统的运动规律完全由一簇以时间为参数的微分方程所决定．在牛顿的”Principia"出版后的两个世纪里，系统动力学的研究是作为微分方程理论的一部分去发展的．其中，最具挑战性的问题是将牛顿的理论应用到行星运动，或决定付个质点在相互万有引力作用下运动规律的n体问题中．对十八，十九世纪的分析学家，从Euler到Jocobi而言，解决这一问题最为自然的方法是通过对特定的微分方程做分析

5、处理以获取尽可能多的信息．人们甚至希望能够像牛顿处理两体问题一样显示地求出这些微分方程的积分．然而，这一希望完全破灭了，所有分析工具对行星运动中的许多基本问题都束手无策．在十九世纪八十年代，胤佗o"d打破这一僵局开创了微分方程定性理论的研究，使人们在系统动力学研究观念上发生了根本性的转变．这一转变的关键点在于·将系统的参数向量所有“可能的值。收集起来形成一个状态空间。着重对状态空阊豹几何结构进行分析．人们的注意力就从单个解曲线转移到所有可能的解曲线构成的集合以及它们的相互关系上．微分方程定性理论不借助于对微分方程求解，而是通过对状态空间的分析来推断解的性质或具有某种属性解的存在性及稳定性．为了

6、从数学上分析—个系统，状态空间X需要有某种结构，变换T也要有某些限制．主要有以下三种情形·(1)X为微分流形，T为微分冠瞻(2)x为拓扑空间，r为同胚映射；1潮度空间上的拓扑序列熵2O)x为测度空间，r为保测变换．即动力系统的三个子领域一微分动力系统，拓扑动力系统和遍历论．在本文中，我们关注的是拒扑动力系统和遍历论．特别的，在拓於动力系统中我们取X为紧致度量空同，用(x，r)表示拓扑动力系统：在遍历论中我们取x为概率空间，用(x，B，“T)表示保测系统，其中召为x上的口代数，p为其上的概率测度．早期拓扑动力系统的最著名的工作是Poincar郴Bendixson的有关微分方程解的稳定性的研究．从

7、1912年起，G．D．Birkhoff开始系统的研究拓扑动力系统，首次定义了极小集并研究了它的性质，这是拓扑动力系统中最基本也是最重要的概念之一，拓扑动力系统中相当—部分的研究就是在极小系统框架下进行的．Birkhoff关于拓扑动力系统的工作收集在他于1927年出版的著作《Dynamicalsystems}中．之后G．T．Whyburn，Nemyckii与Stepanov等人的著作中也涉及了一些拓