Zariskian环上的Auslander模

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1、一V一篁二童曼!宣i一、第一章引言Zariskian环的一个重要性质是，其相伴分次环的许多属性可以提升至原环．Zariskian环的原型来自包括Weyl代数在内的微分算子环，微局部微分算子层上的芽环，李代数的包络代数等．还有最近被广泛研究的来自于数论的非交换1wasawa代数，也是一类典型的具有完备负分次滤的Zariskian环．假设兄是一个左、右诺特环，并且具有分离的、竭尽的滤_fRR’．当此滤满足某些特定条件时，R就成为一个Zariskian环．以下假设出现的滤环都是Zariskian的．设M是一个左或右R模，并且带“好”的滤

2、，则M的任意子模上诱导的滤也是“好”的；另外grM=0当且仅当M=0．迸一步假设grR是Auslander正则环，可以证明兄也是Auslander正则的；当M带“好”的滤时，M的歹一数等于grM的歹．数．[Bj2】和【BjEk]将这一结果推广到了Auslander-Gorenstein的情形，即grR不必具有有限的整体维数，只需grR具有有限的自内射维数，就可以证明R是Auslander-Gorenstein环．本文进一步减弱了环上的假设，证明只要尺是Zariskian环，grM满足Auslander条件，则M也满足Ausland

3、er条件．于是自然推出当grR是Auslander环时，R也是Auslander环．若还假设Ext5(Ext。(grM，grR)，grR)≠0成立，则可证M的歹-数与grM的歹．数相等，这里8是grM的J．数，即极小的使Ext‘(M，A)不为0的数i．下面给出的三个条件可以保证上面的不等式总成立：(1)钆(M)

4、ilm(即本文中的乱．数)小于无穷来作为模上的限制条件，但是它所考虑的是正分次滤环，且相伴分次环是交换的．这些情况已经全部包含在本文的各种假设条件之中了．本文第四章主要考虑强纯模．纯模的一个等价定义是其J．数等于每个非0子模的J-数．如果记J(M)=v／Ann(M)，则J(M)：PlnP2⋯n只，而且R，恳⋯，只都是所有包含J(M)的素理想中的极小元．一个模M称为几何纯的，如果ht(只)，i=1，2⋯s，都相等．M几何纯，加上M的相伴素理想Ass(M)全体等于包含其radical的极小素理想的全体，即Ass(M)=min(J(M)

5、)4--fPl，恳⋯只}，可证得M也满足先前纯模的定义．反之，纯模也一定满足这两个条件(可参见[Li】，第三章)．[BjEk】仔细研究了纯模以及强纯模之间的关系．其主要结果是，每一个纯模都具有一些特殊的滤，称为Gabber滤，使得相伴分次模也是纯模．其中提出这样一个问题：强纯模上是否存在某个Gabber滤使得相伴分一2一第二章预备知识本文中R始终指一个包含乘法单位元的环，不一定交换．下面先回忆一下Zariskian环，“好”的滤，Auslander条件等概念。定义2．1R上的一个“滤”是一族R的Abel子群{F他R，n∈z)，且对

6、所有的佗，m∈Z满足如下条件：(1)1∈FoR，(2)FnR∈R+IR，(3)FnR·FmR冬F”柳JF2．对于本文中出现的滤，总假定它们是竭尽且可分的，即分别满足‰∈znR=R，n住∈zFnR=0．必要情况下会证明所需要的滤确实满足这两个条件．定义2．2为固定起见，设M是一个左冗模．M上的一个“滤”是一族M的Abel子群{FnM，佗∈z)，对所有的n，m∈Z，满足如下条件：(1)FnM∈n+1M，(2)RR·FmM≤Fm棚M．此时称M是带滤模．如果存在ml,m2，⋯m。∈M，尼l，k2，⋯k。∈Z使得对所有的佗∈Z，都有nM=∑

7、Fn_hR．mit=l则称{FnM}是一个“好”的滤．很明显当M带一个“好”的滤时，M必为有限生成模，因为R上的滤竭尽．如果Ⅳ是M的任意一个商模，即N=M／M'，M≤M，取RN=(RM十M')／MI，易见这是Ⅳ上一个“好”的滤．从带滤对象出发，即可得到相伴分次对象．令grM=0n∈ZFn驯晶一xM，grR=0n∈zFnR／Fn—l兄对z∈M，如果存在整数凡，使得z∈FnM＼R一1M，则称z的次数deg(x)等于佗．当不存在这一整数时，令deg(x)=一00．主符号矿(z)是z在自然嵌入en：RM／R—xMqgrM=0n∈zFnM／

8、F加lM下的象，因此盯(z)=en(z+Fn一1M)，这里n=deg(z)．若deg(x)=一oo，则令盯(z)=0．容易证明grR此时是一个分次环，称为冗的相伴分次环，其乘法如下盯(z)·a(y)=ede9(z)+de口(掣)(z秒)z，Y∈R．