karoubianness+and+auslander-reiten+theory

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1、中文详细摘要本文的主要结论由两个相对独立又有着内在联系的部分组成．在第一部分中，我们给出了有界导出范畴的Krull—Schmidt性质的一个初等的证明．这部分的讨论主要集中在第三章．设A是一个artin代数，则有限生成模范畴上的有界导出范畴D6(mod．A)满足Krull-Schmidt性质，即：每个对象都可分解为有限个不可分解对象的直和，且不可分解对象的自同态环都是局部环．这个结论早已为众人熟知，但经典的证明却并不多见．有的证明方法需要借助较庞大的知识体系，如K一理论【8】，有的证明需要借助同伦范畴的特性【11，12】．本文中，我们借助三角范畴中的t一结构这个工具，使得证明变得更初

2、等，更简短．注意到一个加法范畴满足Krull-Schmidt性质，当且仅当这个加法范畴满足幂等可裂性，并且加法范畴中每一个对象的自同态环都是半完全环【12，定理A．1】．因此证明有界导出范畴的Krull-Schmidt性质就归结为证明它的幂等可裂性问题．设C是一个加法范畴，C中幂等态射e：X—X称为可裂的，如果存在U：X—y和秽：Y—X，使得V。u=e，并且u。v=idy．若e中所有的幂等态射都可裂，则称C是幂等可裂的．我们的一个重要观察就是，在三角范畴中，幂等态射的可裂性对扩张封闭．‘命题3．1．8设(el，e2，e3)为三角范畴T中的两个正合三角之间的态射，Xoy上Z土∑(X)土

3、二≥上≥∑∑般其中每个ei皆为幂等态射．若el与e2可裂，则e3也可裂．乒结构的概念首先由Beilinson，Bernstein和Deligne在1982年引入【10】．三角范畴(丁，∑)中的扣结构是由两个满子范畴组成的对(丁<0，丁≥o)，满足如下条件：T1Homr(T-0．T3对丁中的每一个对象X，存在正合三角X7一X_∑_1(xⅣ)_z(x，)，其中X7∈To．记丁≤n：=E咄(丁≤o)，丁≥n：=E邗(Tzo)．称满子范畴7-／：=丁≤on丁≥o为￡．结构的核．Beilinson，B

4、ernstein和Deligne在[10】中证明了一个扣结构的核总是一个abel范畴．我们考虑有有界乒结构的三角范畴．三角范畴丁中的￡一结构称为有界的，若对每一个丁中的对象X，存在m≤n，使得X∈丁≤nn丁2m．若丁中存在有界￡．结构，则对丁中每个对象x，记b(x)=max{nX∈丁≥礼)，记t(x)=min{nIX∈丁≤n}，称w(x)=t(x)一b(X)+1为x的宽度．则命题3．1．8的成立使得我们可以对丁中每个对象的宽度做归纳，把丁的幂等可裂性归结为核咒的幂等可裂性．而咒是abel范畴，它总是幂等可裂的．定理3．3．2设丁为有有界乒结构的三角范畴．则丁中幂等态射可裂．注意到一个

5、abel范畴4上的有界导出范畴D6(4)可通过上同调群定义一个自然的有界￡一结构，因此我们得到推论．推论3．3．3设4为abel范畴．则有界导出范畴D6(么)中幂等态射可裂．由定理3．3．2还可很快得到如下推论，D6(mod—A)满足Krull—Schmidt性质是这一推论的特殊情形．推论3．3．4设k为一个完备的局部的交换noether环，4为k上Ext有限的abel范畴．则有界导出范畴D6(4)是Krull．Schmidt的．在第二部分中，我们讨论了投射模上的同伦范畴中Auslander-Reiten三角的存在性，并给出了Auslander．Reiten公式．这一部分的讨论主要集

6、中在第四章和第五章．二十世纪七十年代初，Auslander和Reiten在研究artin代数的有限表示模范畴A—mod时首次引入了几乎可裂序列(后人也称其为Auslander．Reiten序列)的概念．这一概念和相关的结论很快被拓展到noether代数上的模范畴中，其证明手段和artin中的情形完全类似．设k为一个完备的局部的交换noether环，A是k上的noether代数．称一个由左A-模构成的短正合列g：0_A上B三C_0为A-Mod中的几乎可裂序列，如果该序列满足以下条件：(i)s非可裂；46(ii)任何一个非可裂满的态射M—C都可被9提升；(iii)任何一个非可裂单的态射A

7、一Ⅳ都可被，延拓．任给人．模Ⅳ和有限表示A一模M，都有自然同构DExt夫(M，N)竺HomA(N，DTrM)，此公式称为经典的Auslander-Reiten公式．该公式不仅保证了A．Mod中几乎可裂序列的存在性，还明确地指出了一个几乎可裂序列左右两端的对应关系：对于任意一个不可分解非投射noether模C，存在A-Mod中的几乎可裂序列0_DnC一÷B_÷C_0，且此序列在同构意义下唯一；对于任意一个不可分解非内射axtin模A，存在A-Mod中的几乎可