高一数学-59正弦定理、余弦定理

《高一数学-59正弦定理、余弦定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二　解斜三角形5．9　正弦定理、余弦定理知识要点精讲知识点1　正弦定理（2）正弦定理的变形：为了便于进行三角函数的恒等变形，往往将扩充的正弦定理进行变形，写成因此利用扩充的正弦定理可以很方便地把边与角的正弦相互转化．知识点2　余弦定理（1）余弦定理：三角形一边的平方等于其余两边的平方减去这两边与它们的夹角的余弦乘积的两倍，余弦定理揭示了三角形三边和一角的关系，它也是勾股定理及其逆定理的推广．（2）余弦定理的变形：余弦定理也可写成下列形式：解题方法、技巧培养出题方向1　利用正弦定理解△［解析］解△

2、ABC，就是求出未知的角和边，本题已知两边和一边的对角，根据正弦定理求出角B，再根据三角形内角和为180°求出角C，根据正弦或余弦定理求出边c，注意两解．［答案］根据正弦定理知点拨　本题的易错点为求角B容易漏解，因此在解此问题时，要认真讨论和研究，正确判断解的个数．［思考题］在△ABC中，（1）若a＝10，b＝20，A＝30°；（2）若a＝5，b＝20，A＝30°；（3）若a＝25，b＝20，A＝30°；分别求角B．出题方向2利用余弦定理解三角形例2　在△ABC中，AB＝1，AC＝2，求∠C的最

3、大值．［解析］可考虑利用正弦定理或余弦定理找出其边角关系，先求∠C的三角函数值的范围，再求角的范围．例3　如图5－9－1，设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．［解析］把边放入三角形中，通过解三角形列出方程，从而求出边长．［答案］设边长为x（1＜x＜3＝，在△ABP中，点拨（1）解题时要善于运用方程的思想方法，通过列方程求未知数．（2）在求解过程中，要注意三角形中三边长的关系．出题方向3　判断三角形形状［解析］解决本题，可分别利用正弦、余弦定

4、理，把问题转化成角或边的关系求解．点拨　利用正弦、余弦定理判断三角形形状，主要是将已知条件中三角形的边、角关系转化为边的关系或角的关系．［解析一］利用正弦定理把边化为角，通过三角函数运算求证．［证法一］由正弦定理得，［解析二］利用余弦定理把角化为边，化简即得证．［证法二］由余弦定理得，点拨　利用正弦、余弦定理进行边角互化，从而得到只含有边或只含有角的等式，再利用三角函数等进行化简，是解这种题型的基本思路．出题方向5　求三角形面积例6　如图5－9－2，在四边形ABCD中，BC＝m，DC＝2m，四个

5、内角A、B、C、D之比为3∶7∶4∶10．试求△ABD的面积．［解析］可先由四边形内角和为360°，根据四个内角之比求出各内角的大小，再通过解三角形求出△ABD的有关边和角，然后利用三角形面积公式［答案］　由于四个内角A、B、C、D之比为3∶7∶4∶10，所以可设A、B、C、D的大小依次为3x，7x，4x，10x，再由四边形内角和为360°，得：3x＋7x＋4x＋10x＝360°，解得：x＝15°．∴　A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°．在△BCD中，由余弦定理得：点拨　根据题目

6、条件，将四边形分解为若干个三角形，便于利用已知条件和正弦、余弦定理等求解．易错易混点警示本节有两个地方容易出错：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角，容易漏解或误解．　　（2）在判断三角形形状时，出现漏判或误判．如本来是等腰或直角三角形，只判定为等腰三角形或判定为等腰直角三角形．因为b＜a，根据三角形中大边对大角可知B＜A，所以B＝150°不符合条件，应舍去．∴B＝30°．例8已知△ABC中，acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状．［错解一］　由正弦定理得：2Rsin

7、AcosA＝2RsinBcosB．即：sin2A＝sin2B．∴A＝B．故△ABC为等腰三角形．［错解二］　由正弦定理得：2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B．∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，∴2A＝2B，2A＋2B＝180°．∴A＝B，C＝90°．故△ABC为等腰直角三角形．［错因分析］　错解一主要是由sin2A＝sin2B得到A与B的关系时出现了漏解；错解二主要是把A＝B与C＝90°理解为同时成立，其实两者是“或”的关系．［正解］　由正弦定理得：2R

8、sinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B．∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°．∴A＝B或C＝90°．故△ABC为等腰三角形或直角三角形．点拨　本题也可利用余弦定理转化为边的关系．学法导引1．应用正弦定理和余弦定理可以实现将“边、角相混和”的式子转化为“边或角的单一”式子．这样我们就可以通过正弦定理、余弦定理来解三角形，并辅以三角函数、等式变换等知识，就可以进行化简或证明有关三角形中边与角的问题、判断三角形形状、求三角形面积等等．2