正弦定理、余弦定理

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1、正弦定理和余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC基础梳理2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．考点一正弦定理的应用【思路分析】(1)先求出角B，再利用正弦定理求角A；(2)直接利用正弦定理求解．例1【方法总结】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两

2、边和它们的夹角(对角），求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．考点二余弦定理的应用例2【思路分析】由正、余弦定理及面积公式列关于a，b的方程组．【规律小结】余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，在能够确定三边的情况下求三角形的面积，只要再求得三角形的一个角就可以了．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．考点三三角形形状的判定△ABC中，a

3、，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【思路分析】(1)把角的三角函数化为边，(2)把边化为角的三角函数．例3【思维总结】判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种

4、解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．方法感悟A>90°A＝90°A<90°a>b一解一解一解a＝b无解无解一解absinA两解a＝bsinA一解asinB”是“A>B”的什么条件？答案：直角三角形例规范解答已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,求c及S△ABC整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3,c2=5