高一数学教案：正弦定理、余弦定理(4).pdf

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1、课题：正弦定理、余弦定理（4）教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反

2、数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：abc2R正弦定理：sinAsinBsinC222bca222cosA余弦定理：abc2bccosA,2bc222cab222cosBbca2cacosB,2ca222abccosC222cab2abcosC，2ab二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)02RsinA(sinBsinC)2RsinB(sinCsinA)2RsinC(sinAsinB)证：左边=

3、2R[sinAsinBsinAsinCsinBsinCsinBsinAsinCsinAsinCsinB]==0=右边例2在△ABC中，已知a3，b2，B=45求A、C及casinB3sin453sinA解一：由正弦定理得：b22第1页共7页∵B=45<90即b

4、)3bca213cosA2bc622(31)2222从而A=60，C=7562c当2时同理可求得：A=120，C=152例3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x23x20的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积1解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)=2∴C=120ab23ab2（2）由题设：22∴AB2=AC2+BC22AC?BC?osCab2abcos1202222(ab)ab(23)210abab10即AB=11133absinCabsin1202（3）S

5、△ABC=22222例4如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,AD=10,AB=14,第2页共7页BDA=60,BCD=135求BC的长解：在△ABD中，设BD=x222则BABDAD2BDADcosBDA222即14x10210xcos602整理得：x10x960解之：x116x26（舍去）由余弦定理：BCBD16BCsin3082sinCDBsinBCD∴sin135例5△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角;2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积ak1,bk,ck1kN解：1设三边且k1

6、222abck4cosC02ac2(k1)∵C为钝角∴解得1k4∵kN∴k2或3但k2时不能构成三角形应舍去1a2,b3,c4,cosC,C109当k3时4x,yxy42设夹C角的两边为15152xysinCx(4x)(x4x)S44当x2时S最大=15例6在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BCx中点，所以BD、DC可表示为2，然用利用互补角的余弦互为相

7、反数这一性质建立方程x解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝2，第3页共7页2x222224()5ADBDAB2,2ADBDx24在△ADB中，cosADB＝22x222224()3ADDCAC2.2ADDCx24在△ADC中，cosADC＝2又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC2x222x224()54()322xx2424∴22解得，ｘ＝2,所以，BC边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的

8、适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：ABBD5由三角形内角平分线性质可得ACDC3，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠AD