以圆为背景的特殊四边形的动态探究专题

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1、特殊四边形的动态探究题（一）———以圆为背景学习目标：1、掌握圆的相关知识2、掌握特殊四边形的性质定理和判定定理3、能够解决以圆为背景的特殊四边形的动态探究题学习重难点：能够解决以圆为背景的特殊四边形的动态探究题背景：近五年，河南中招数学第17或18题主要考察特殊四边形的动态探究问题。出题框架：第一问以证明为主，如证明线段相等，角相等，三角形全等，切线，平行四边形；第二问以填空为主，如探索AB=时，四边形ABMN为菱形，探索动点P运动时间为秒时，四边形CDPQ为正方形等。新课：第一环节经典展示1、（2016•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直

2、径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　　；②连接OD，OE，当∠A的度数为　　时，四边形ODME是菱形．学生先独立思考完成此题，10分钟后选取不同的学生，说说自己是如何解决的。学生一：连接BD,AE,通过证明△BOM≌△AEM,得到DM=EM。学生二：还可以证明△ABD≌△EBA,则AD=BE,AM-AD=BM-BE,得到DM=EM学生三：还可以证明△AOD≌△BOD,则AD=BE,AM-AD=BM-BE,得到DM=EM,师：学生的思路都困在全等当中，有没有哪位同学不通过全等来解决的？学生四：充分利用圆的内接四

3、边形的对角互补来解决的。∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．学生五：利用同圆中弧相等，弧所对的弦相等∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∴弧AE=弧BD,∴弧AD=弧BE∴AD=BE∴AM-AD=BM-BE,∴DM=EM思路巧妙充分运用了圆的知识，学生爆发了雷鸣的掌声。通过一题多解证明线段相等，也让我们知道线段相等除了通过证明三角形全等，在

4、一个三角形中，可以通过证明等角对等边，在圆中，还可以充分利用弧相等得到弦相等。由于第二问是填空题，通过画出草图，找出相应点的位置，利用菱形的性质一组邻边相等来解决。第二环节趁热打铁2、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG，设⊙O半径为5．①当CF=　　时，四边形ABCG是菱形；②当BC=4时，四边形ABCG的面积是．学生先独立完成，这时第二题的第二问学生困惑了，解决不出来了，老师要求四人一小组讨论解决，然后选代表来给大家讲解

5、。∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC=2，∴AD==4，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=∠ACB，∴△ACD∽△BCE，∴=，即=，∴CE=4，BE=8，∴AE=AC﹣CE=6，∵AG∥BC，∴△AGE∽△BCE，∴，即，∴EG=12，∴四边形ABCG的面积=S△ABC+S△ACG=×4×4+×10×12=100．故答案为：100．师：这题我们已经解决了，那么这一类型的题目我们该如何解决呢？师：如何证明切线？生：证明切线的思路：连半径证垂直，作垂直证半径师：第二问圆中的菱形里面包含什么结论？生：一般情况下，圆中的菱形，必有60度的

6、角师：求面积关健求线段长，如何求呢？生：求线段长的方法：勾股定理，三角函数，三角形相似学生在不断的提问回答中，把方法不断总结。第三环节巩固强化3、如图，AB为⊙O的直径，C为半圆上一动点，过点C作⊙O的切线l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接OC，CE，AE，AE交OC于点F．（1）求证：△CDE≌△EFC；（2）若AB=4，连接AC．①当AC=　时，四边形OBEC为菱形；②当AC=时，四边形EDCF为正方形．第四环节分享收获通过本节课的学习，谈谈你的收获第五环节拓展提升（课后完成）4、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA

7、为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若AB=，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE．填空：①当的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当的长度是时，△ADE是直角三角形．教后反思:本节课学生的表现非常好，学生基本上能够对中招出题方向有了大致了解，同时通过合作，交流能够将一题多解充分展示给大家，提高了数学素养；不足之处，老师应该让学生自己总结方法，猜测出题人的思路，掌握方法，以不变应万变。