高等数学(微积分)课件--§9.2一阶微分方程

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1、9.2一阶微分方程最基本的微分方程是一阶微分方程。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数；f(x,y)是x,y的已知函数。1一、可分离变量方程分离变量方程：可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程解法分离变量法为微分方程的解.2例题讲解例1求解微分方程解分离变量两端积分3例题讲解例2求解微分方程解分离变量两端积分4例题讲解例3求解微分方程解分离变量两端积分5例题讲解例4*求解微分方程解分离变量两端积分6例

2、题讲解例5商品的需求量Q对价格弹性为－kp，且最大需求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_____?解分离变量两端积分7课堂练习解8课堂练习9课堂练习答案解10课堂练习答案解11二、齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程解齐次方程的基本方法：变量变换法具体解法：作变量代换代入原式可分离变量的方程12齐次微分方程的解13例题讲解例：求齐次微分方程14例题讲解（续）分离变量方程：15例题讲解例：16例题讲解例：已知生产某种产品的总成本C由

3、可变成本与固定成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)[即dy/dx=(x2+y2)/(2xy)];固定成本为1；x=1,y=3.求总成本函数C＝C(x)?17例题讲解(续)18例题讲解例：求解微分方程解微分方程的解为19课堂练习解20课堂练习解21课堂练习解22*可化为齐次方程的微分方程23三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性

4、的.24一阶线性微分方程的解法(1)线性齐次方程(使用分离变量法)齐次方程的通解为25解法(2)线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比26常数变易法常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质未知函数的变量代换作变换积分得27常数变易法(续)一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解28例题讲解例：解29例题讲解例：解30例题讲解(x为因变量)例：求方程2ydx-(x+y4)dy=0的通解，以及满足条件y(0)=1的特解。31课堂练习解32课

5、堂练习解33*伯努力(Bernouli)方程34