高等数学(微积分)课件--§6.4定积分的应用

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1、§6.4定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、经济应用1定积分引例的回顾用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步：(1)分割：将大曲边梯形分成n个小曲边梯形;(Ai为第i个小曲边梯形的面积)；(2)取近似：(3)求和：(4)取极限：提示：用A表示任一小区间[x,x+x]上窄曲边梯形面积,则A=A,并取A≈f(x)dx=dA,于是A≈f(x)dxA=limf(x)dx面积元素2元素法(微元法)思想一般说来，如果所求量U与x的变化区间[a,b]有关，且关于区间[a,b]具有可加性，在[a,b]中的任意小区间

2、[x,x+x]上找出U的部分量的近似值dU=f(x)dx,那么求量U的这种方法叫做定积分的元素法。称为量U的元素(微元)。应用方向:平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长．3应用元素法的前提所求量U满足以下三点：(1)所求量U与变量x的变化区间[a,b]有关；(2)所求量U对[a,b]具有可加性；(3)微元dU=f(x)dx,弧长体积面积4元素法一般步骤1.根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]。2.设想把区间[a,b]分成个n小区间,取其中任一小区间并记为[x,x+dx],估计出所求量U相

3、应于这小区间的部分量U的近似值。如果U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU,即dU=f(x)dx。3.以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得即为所求量的积分表达式.5平面图形的面积(关于x积分)平面图形面积问题可借助定积分几何意义或者用元素法思想进行求解。直角坐标情形:面积元素:dU=

4、f(x)

5、dx曲边梯形的面积面积元素:dU=

6、f2(x)-f1(x)

7、dx平面图形的面积6左右为曲边的图形面积计算由左、右两条曲线x=

8、(y)、x=(y)及直线y=c、y=d(其中c≤d)围成的图形的面积：其面积的微元为：所求的面积为：这是以y为积分变量的面积表达式．7例题与讲解(1条曲线)8例题与讲解(2条曲线)例：计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积。解两曲线的交点面积元素选为积分变量9平面图形的面积(关于y积分)1:介绍关于y轴积分的平面图形面积计算公式2：重新做前面例题10例题与讲解*例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积11例题与讲解(选择适当的方法)例：计算由曲线y2=2x和

9、y=x-4直线所围成的图形的面积.解两曲线的交点选为积分变量12例题与讲解例*：求摆线与x轴围成的图形的面积.一拱形解：13极坐标下平面图形面积计算*极坐标情形：设由曲线r=()及射线=、=围成一曲边扇形,求其面积。其中()在[,]上连续,且()≥0。面积元素曲边扇形的面积14例题与讲解例：求双纽线2=a2cos2所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积15例题与讲解例：求心形线r=a(1+cos)(其中a>0)所围平面图形的面积。解利用对称性知16平行截面面积已知的立体体积如果一

10、个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算。立体体积17例题讲解(圆锥体积)18例题与讲解*例：设有一底圆半径R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截,求截下的楔形体积。立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形。解　取如图所示的坐标系，则底圆方程为其面积为楔形体体积为19旋转体的体积旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体的轴。取x为积分变量,变化区间为[a,b]过点x的且垂直于轴的截面面积为绕x轴旋转的旋转体体积为

11、:或设旋转体表面是由曲线段y=f(x),x[a,b]绕x轴旋转一周而成,现计算其体积(容积)。20绕y轴旋转的旋转体体积由连续曲线段x=(y),y[c,d]绕y轴旋转而成的旋体如右图：绕y轴旋转的旋转体的体积为:或21例题与讲解例：求由椭圆旋转椭球体的体积．解旋转椭球体可看作由上半椭圆绕x轴旋转。所围成的图形绕x轴旋转而成的22例题与讲解例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。解：23经济应用举例之一已知总产量的变化率求总产量已知某产品总产量Q的变化率是时间t的函数f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q'(

12、t)=f(t),Q0=Q(t0).则产品的总产量函数可表示为注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。24例题与讲解例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2(吨/小时),求⑴总产量函数Q(t);⑵从t0=4到t1=8这