高等数学(微积分)课件--§8.7二重积分

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1、§8.7二重积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、积分区域无界的广义二重积分*1曲顶柱体引例1：曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体2“分割,求和,取极限”思想的应用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放3求曲顶柱体体积的具体步骤用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积4平面薄片的质量引例2：平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，

2、所有小块质量之和近似等于薄片总质量5二重积分的概念定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域1,2,…,n,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i),作乘积f(i,i)i(i=1,2,…,n),并作和;如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。6关于二重积分定义的说明

3、(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值．一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积的代数和。D7二重积分的性质(1~5)性质1（k为常数）性质2性质3性质4若为D的面积,则性质5若在D上则有特别地:8二重积分的性质(6~7)性质6(估值不等式)设M、m分别是f(x,

4、y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得9例题与讲解例：不做计算,估计其中D是椭圆闭区域解10直角坐标下计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。X-型积分区域D：［X－型］其中函数、在区间上连续.11axbX-型积分区域上计算二重积分将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”

5、的方法,垂直x轴作平行截面。得12Y-型积分区域上计算二重积分Y-型积分区域D：［Y－型］垂直y轴作平行截面13其它类型的积分区域X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式14例题与讲解例：改变积分的次序解：积分区域如图15例题与讲解例：改变积分的次序解：积分区域如图16例题与讲解例：改变积分的次序解：原式17例题与讲解例：求积分其中D是由抛物

6、线y=x2和x=y2围成的闭区域。解：18例题与讲解例：求积分其中D是以(0,0)、(1,1)、(0,1)为顶点的三角形区域。解：19例题与讲解例：计算积分解：20例题与讲解例：求由下列曲面所围成的立体体积解曲面围成的立体如图：一个三角形.21利用极坐标计算二重积分22极坐标下化二次积分(１)若积分区域特征如下图23例题与讲解例：写出积分在极坐标下二次积分形式,其中积分区域解24极坐标下化二次积分(2)若积分区域特征如下图25极坐标下化二次积分(3)若积分区域特征如下图极坐标系下区域的面积26例题与讲解

7、例：计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。解27例题与讲解(泊松积分)例：求广义积分解由上例结论以及对称性知28例题与讲解例：计算其中D为由圆及直线所围成的平面闭区域。解29例题与讲解例：计算其中积分区域为解30小结二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）［Y－型］［X－型］二重积分在极坐标下的计算公式31练习(1)32练习(2)33练习(3)34练习解答35练习解答36练习解答37练习解答38练习解答39练习解答40练习解答41练习解答如图所示42练习解答如图所示

8、43练习解答44练习解答45练习解答46练习解答47练习解答48求“曲顶柱体”体积的演示(1)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．49求“曲顶柱体”体积的演示(2)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．50求“曲顶柱体”体积的演示(3)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．51求“曲顶柱体”体积的演示(4)求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动