高等数学(微积分)课件--§8.2多元函数的概念

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1、§8.2多元函数的概念一、二元函数的定义与几何意义二、二元函数的极限三、二元函数的连续性1二元函数的定义定义：设D是一个平面点集,若对于D内每个点P(x,y),变量z按照某个确定的对应法则f都有唯一确定的值和它对应,则称f是定义在D上的函数,记为z=f(x,y)。(或记为z=f(P)。)类似地可定义三元及三元以上函数:u=f(x,y,z)…当n≥2时,n元函数统称为多元函数。多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。二元函数有两个自变量,故其定义域是一个平面上的区域：Df={(x,y)

2、……}。2例题与讲解例求函数定义域：解：所求定义域为3例题与讲解例：求下面二元函数的定义域解由分

3、子知x、y应满足由分母知x、y应满足且故定义域为且4二元函数的图形定义：二元函数的图形通常是一张曲面.5二元函数的极限描述性定义：当二元函数z=f(x,y)定义域Df内的动点P(x,y)无限趋近定点P(x0,y0)时,相应的函数值无限接近某确定的常数A,则称当xx0,yy0时函数z=f(x,y)以为A极限。记：注意：对于一元函数的极限,自变量只要沿x轴从左右两个方向趋向于x0时,函数值变化趋势一致就够了。而对于二元函数极限,动点PP0的方式要复杂得多。因为平面上,动点趋向于定点的方式有很多,只有动点P以各种可能的方式趋向于定点时,函数的极限都存在且相等,这时才算存在。6二元函数极限的

4、分析定义定义：7例题与讲解*例：求证证当时，结论成立．8极限计算9例题与讲解例：求极限解其中有界量与无穷小量之积10例题与讲解(证明)11例题与讲解例：证明不存在。证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．12多元函数的连续性定义：设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点且P0D，如果则称n元函数f(P)在点P0处连续。间断点：设P0是n元函数f(P)定义域D的聚点,如f(P)在点P0处不连续,则称P0是函数f(P)的间断点。多元连续函数的性质：与一元函数类似。有:连续的四则运算、复合运算性质;最值定理、介值定理;初等函数在定义区域内连续等。13例题与讲解例：讨论函数在(0,0)的

5、连续性．解取y=kx其值随k的不同而变化，故极限不存在。所以，函数在(0,0)处不连续。14例题与讲解例：讨论函数在(0,0)的连续性．解：(极限四则运算性质)(无穷小性质)即f(x,y)在(0,0)的连续。15例题与讲解例：求极限解(初等函数连续性)16