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1、第六章多元函数微积分一、考核内容Ⅰ、知道二元函数的定义和几何意义,会求二元函数的定义域。Ⅱ、知道偏导数的概念及偏导数与一元函数的导数的关系。知道全微分的概念及二元函数可微的条件。Ⅲ、熟记复合函数中下列三种类型的复合函数求导法则:Ⅳ、了解隐函数,掌握由一个方程确定的一元或二元隐函数求导法则Ⅴ、知道二阶偏导数的的概念,会求初等函数的二阶偏导数。Ⅵ、知道二元函数取得极值的充分必要条件,会求二元函数的极值,并会解决比较简单的应用问题。Ⅶ、知道二重积分的概念和几何意义,会在直角坐标系下将二重积分化为两次定积分,并会计
2、算二重积分。二、基本概念、重要定理和公式、典型例题Ⅰ空间直角坐标系简介(1)空间直角坐标系在空间取一点o,过o作三个互相垂直的数轴ox,oy,oz两两互相垂直构成空间直角坐标系。过空间中任一点P分别作oxy平面及oz轴的垂线并交于xy平面于点,交oz轴于点R,若在平面上的坐标为(x,y),R在轴上的坐标为,就说点P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z),其中x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫立坐标。(2)空间中的平面方程若动点P(x,y,z)的坐标满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0则
3、动点P(x,y,z)的轨迹是空间的平面,反之,若动点P(x,y,z)的轨迹是空间的平面,则动点P(x,y,z)的坐标必满足三元一次方程Ax+By+Cz+D=0所以得到下面的结论:在空间,三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示空间的平面,记作π三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的系数不能同时全为0特别情形:①当D=0时,方程Ax+By+Cz+D=0表示平面经过原点O(0,0,0)。②A=0时,By+Cz+D=0方程表示平面π平行于x轴;B=0时,方程Ax+Cz+D=0表示平面π平行于y轴;C=0时,方程A
4、x+By+D=0表示平面π平行于z轴。例如方程x+y-2=0在空间表示平面而不是直线,而且该平面平行于z轴,其图形如图所示:例如:x-2=0在空间不是直线,而是平行于yz平面的平面(见下图示)z-2=0在空间也是平面,它平行于xy平面(见下图示)(3)空间的曲面由等式F(x,y,z)=0确定的空间动点的轨迹是空间的曲面。特别情形:①方程,确定的空间的动点的轨迹是以点为中心,R为半径的球面。表示以原点O为中心,R为半径的球面。③方程F(x,y)=0表示空间中以xy面上的曲线为准线,母线平行于z轴的柱面。例如:
5、表示以xy面上的圆为准线,母线平行于z轴的圆柱面;(图形见下图);又如:表示空间中以抛物线为准线,母线平行于z轴的抛物柱面。(图形见下图)。④旋转曲面:方程表示空间中心以yz面上的曲线绕z轴旋转而生成的旋转曲面。例如①表示空间中以yz面上的抛物线y2=2pz绕z轴旋转而生成的旋转抛物面(见下图)②表示空间中以yz面上的直线z=y绕z轴旋转而生成的旋转锥面(见下图)同学们要特别注意:在空间:一个方程F(x,y,z)=0表示曲面,而绝不是曲线。(Ⅱ)二元函数的的概念定义:设有两个独立的变量x和y在给定的区域D中
6、任取一值时,变量z按某一法则有唯一确定的值与之对应,就说变量z是变量x和变量y的二元函数,记作:z=f(x,y)其中x,y叫自变量,z叫因变量或函数。自变量x,y的取值区域D叫定义域。例一:求下列函数的定义域,并画出它们的图形在平面直角坐标系中它是以原点为圆心,半径为R,包括边界的圆,其图形见上图。在平面直角坐标系中,它是以原点为中心,半径为R的不包括边界的圆,其图形见上图。在平面直角坐标系中,它表示位于直线x+y=0的右上方的不包括直线x+y=0的半平面,其图形见上图。如果一个平面连通区域包含边界,就说该
7、区域是闭的,如果平面区域不包含边界,就说该区域是开的。如果平面连通区域中任意两点的距离都小于某常数M,就说该区域是有界(限)的,否则就说该区域是无界(限)的。显然,在上例中(1)的图形是有界闭区域;(2)的图形是有界开区域;(3)x+y>0的图形是无界开区域。定义:若点P(x,y)以任何方式与定点无限接近时,二元函数f(x,y)的值与二元函数f(x,y)在点的值无限接近时,即就说二元函数f(x,y)在点连续与一元函数相似,二元初等函数在它的定义域内处处连续。定理:二元初等函数在它的定义域内处处连续Ⅱ二元函数
8、的偏导数和全微分(1)二元函数的偏导数定义:设点是二元函数z=f(x,y)在其定义域内的一点,把变量y固定在时而将x逐渐接近于,设,△x→0当时若极限存在,就说此极限是二元函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数,记作同样,若将x固定在,而让y与无限接近,时,若极限存在,就说此极限是二元函数z=f(x,y)在点对变量y的偏导数,记作:若二元函数f(x,y)在点处的两个偏导数都存在,就说二元函数f(x,y)在点处可导