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1、高等数学第七章空间解析几何与向量代数第五节平面及其方程平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角例题平面是最简单的曲面.平面和三元一次方程一一对应。我们主要掌握平面方程的几种表达形式，以及平面与平面.点与平面之间的位置关系.10/8/20212天津商学院《高等数学课程组》引例
2、AM
3、=
4、BM
5、,所以两边平方并化简得2x-6y+2z-7=0ABM这个垂直平分面的方程就是 一个平面方程.设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面方程.解由题意知，所求平面是与A、B等距离的点的几何轨迹，设M（x,y,z）为所求平面上的任一点
6、，由于10/8/20213天津商学院《高等数学课程组》zyOx一.平面的点法式方程nM法线向量n垂直于一平面的非零向量称作该平面的法线向量，简称法向量，记作n.点法式方程的建立已知平面上一点M0及其法向量n，则可以建立该平面的方程.根据图示一.平面的点法式方程设M0是平面上一个已知点，M是平面上任意一点，n为平面的法向量.因为向量MM0与法线向量n垂直，则其数量积为零.即n={A,B,C},于是有：如果已知：Mn这就是平面的点法式方程可将这个三元一次方程整理为Ax+By+Cz+D=0的形式,其中D=-(Ax0+By0+Cz0)图示10/8
7、/20215天津商学院《高等数学课程组》例1解10/8/20216天津商学院《高等数学课程组》例2解10/8/20217天津商学院《高等数学课程组》二.平面的一般方程任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示；任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面。方程Ax+By+Cz+D=0（2）称作平面的一般方程.其中x,y,z的系数A,B,C就是该平面一个法向量的坐标.该平面法向量为n={A,B,C}.n={A,B,C}zyOxπ例32x-3y+z-6=0zyOx3263x+8y+z-18=0可以改写成图示10/
8、8/20219天津商学院《高等数学课程组》zyOx二.平面的一般方程Ax+By=0,C=0,D=0.zyOxCz+D=0,A=B=0特殊三元一次方程表示图形特点这个平面平行xOy坐标面这个平面经过z轴.10/8/202110天津商学院《高等数学课程组》二.平面的一般方程zyOxAx+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示图形特点Ax+By+Cz=0,D=0xzyO这个平面平行y轴.这个平面过原点O.O10/8/202111天津商学院《高等数学课程组》三.平面的截距式方程设一平面与x、y、z轴的交点为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R
9、(0,0,c)其中a≠0、b≠0、c≠0zyOx叫做平面的截距式方程a、b、c叫做平面在x、y、z轴上的截距.PQRabc则该平面方程为四.平面的三点式方程已知平面上三点：P=(a,b,c),Q=(a1,b1,c1),R=(a2,b2,c2),并设M=(x,y,z)，QPRnnM则平面方程为：五.两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角如下图中的角θ.设平面Π1的法向量为n1={A1,B1,C1}设平面Π2的法向量为n2={A2,B2,C2}由cosθ=
10、cos(n1,^n2)
11、则两平面的夹角θ可由两个向量夹角公式来确定.θΠ1Π
12、2n2n1θ四.两平面的夹角其中平面Π1的法向量为n1={A1,B1,C1}平面Π2的法向量为n2={A2,B2,C2}θΠ1Π2n2n1θ两个结论：结论一平面Π1与平面Π2互相垂直相当于：Π1Π2n2n1因为两个法向量相互垂直所以其数量积为零图示两个结论：结论二平面Π1与平面Π2互相平行或重合相当于:Π1Π2n2n1这时两个平面的法向量相互平行图示六.点到平面的距离已知:平面Π1的法向量为n1={A,B,C}平面Π1外一点P0={x0,y0,z0}证明：P0到平面Π1的距离为Π1P0n1P1N证明思路：:平面Π1上取点P1={x1,y1
13、,z1}则所求距离等于向量在法向量上n1的投影.即学生自己推导例4解将三点坐标分别代入平面一般方程Ax+By+Cz+D=0,得zyOxCABA+B-C+D=0(1)-2A-2B+2C+D=0(2)A-B+2C+D=0(3)解此联立方程组，得A=1,B=-3,C=-2,D=0.x-3y-2z=0为所求平面方程.方法一求过三点A（1，1，-1）,B（-2，-2，2），C（1，-1，2）的平面方程.例4解作向量并求其向量积,得zyOxCAB因为该向量垂直平面可取n={-3,9,6}不妨取点A(1,1,-1),可得点法式方程：x-3y-2z=0为
14、所求平面方程.方法二求过三点A（1，1，-1）,B（-2，-2，2），C（1，-1，2）的平面方程.例5指出下列各平面的特殊 位置，并画出各平面：（1）.x=0，y=0,z=0.zyOx即坐标
