多元函数微积分(II)

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1、第二节多元函数积分一、二重积分二、曲线积分一、二重积分1.二重积分的概念与性质1）二重积分的概念（1）曲顶柱体的体积柱体体积=底面积*高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积（2）求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量2）二重积分的定义对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积

2、函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．3）二重积分的性质性质１设k为常数，性质2性质3若积分区域D由D1,D2组成(其中D1与D2除边界外无公共点),则性质4性质5设M,m是函数f(x,y)在闭区域D上的最大值与最小值,是D的面积,则2.二重积分的计算1）利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法得如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型

3、区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式2）极坐标下二重积分的计算设有极坐标系下的积分区域D,用一组以极点为圆心的同心圆(r=常数)及过极点的一组射线(=常数)将区域D分割成n个小区域.平面上的点的直角坐标(x,y)与该点的极坐标(r,)之间的关系：x=rcos,y=rsin，(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上

4、,且D*由射线=,=和连续曲线r=r()围成．(3)若极点O在区域D*内,且D*的边界曲线为连续封闭曲线r=r()(02)．3.二重积分应用举例例1例2二、曲线积分1.对弧长的曲线积分1）概念令max{s1s2sn}0则整个曲线形构件的质量为整个曲线形构件的质量近似为设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i

5、小段质量的近似值(ii)si曲线形构件的质量将L任意分成n个小弧段s1s2sn(si也表示第i个小弧段的长度)在每个小弧段si上任取一点(ii)作和定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界如果当max{s1s2sn}0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分记作其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段说明当函数f(xy)在光滑曲线弧L上连续时函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲

6、线积分是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分曲线形构件的质量就是曲线积分的值类似地可以定义函数f(xyz)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作2）性质性质1设c1、c2为常数则性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则3）对弧长的曲线积分的计算法（1）设曲线L的参

7、数方程为x(t)y(t)(t)则B(11)之间的一段弧曲线L的参数方程为xxyx2(0x1)因此解例1计算dsyLò,其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧解在曲线上有并且x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2例2计算曲线积分dszyx)(222++òG,其中G为螺旋线2.对坐标的曲线积分质点在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L

8、移动到点B求变力F(xy)所作的功提示把L分成n个小弧段L1L2Ln求功的过程变力在L上所作的功的精确值为其中是各小弧段长度的最大值F在Li上所作的功WiF(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi,[]1）概念设函数P(xy