多元函数微积分(I)

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1、第七章多元函数微积分学§1.多元函数概念（1）多元函数定义z=f(x,y),(x,y)D，D为平面区域（2）定义区域及其不等式表示法去心邻域开区域，闭区域不含边界的平面区域称为开区域；包含边界在内的平面区域称为闭区域。平面区域的不等式表示法（平行直线束表示法）将平面区域看为无穷条具有某种共同性质的垂直或者水平直线（或线段）的组合。iii)有界区域，无界区域可包含在一个半径充分大的圆内的平面区域，称为有界区域；不论半径多大，都无法包含在该圆内的平面区域，称为无界区域。表示形式：解所求定义域为求的

2、定义域．例1用不等式表示法表示以下平面区域：（3）二元函数的函数值求法问题实例（4）二元函数图像的几何意义二元函数的图像是覆盖在定义区域D上的，空间中的一个曲面.二多元函数的极限定义说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限.（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．证求证所以原结论成立．例2解其中求极限例3例4例5注意：1.一元函数与多元函数的共性与差异？2.如何理解二元函数的极限定义与一元函数极限定义有何差异？确定二重极限不存在的方法：例6解沿x轴考察,沿y轴考察,

3、（2）二元函数极限的求法二元极限的四则运算法则以及极限变量替换法均仍成立。（3）二元函数连续性定义（4）二元初等函数的连续性利用二元初等函数连续性计算二元极限：二元初等函数在其有定义的点上均是连续的。若则称二元函数在(x0,y0)点处连续；若二元函数在其定义区域中每一点均连续，则称该二元函数在定义区域中连续。（5）有界闭区域上二元连续函数的性质i)有界闭区域上二元连续函数的最大最小值定理ii)有界闭区域上二元连续函数的介值定理第三节偏导数一、偏导数的定义及其计算法偏导函数:或2.偏导数的概念可以

4、推广到二元以上函数.说明:1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.给定三元函数u=f(x,y,z)及定点(x0,y0,z0)D,若下面的一元极限存在:则称此极限为三元函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处关于x的偏导数，记为：类似可定义三元函数u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处关于y的偏导数和关于z的偏导数:（2）多元函数偏导数计算方法由于多元函数偏导数定义中的极限是一元函数的极限问题，所以说多元函数求偏导数其实质是“在固定其他自变量的前提下，对某一个自变量求导数”的

5、问题。因此，多元函数的偏导数运算与一元函数导数运算一样，成立四则运算法则；一元基本初等函数求导公式在多元初等函数的偏导数计算中仍然适用，即可以用“公式法”计算初等多元函数的偏导数；分段形式的多元函数在分段点上的求偏导数，由于多元分段函数一般不是多元初等函数，故一般只能用“定义法”求偏导数值。二元函数z=f(x,y)在某一点(x0,y0)上对自变量x求偏导数值，可以先将y0代入二元函数z=f(x,y)，变为一元函数z=f(x,y0)对x求导数值问题;二元函数z=f(x,y)在某一点(x0,y0)上

6、对自变量y求偏导数值，可以先将x0代入二元函数z=f(x,y)，变为一元函数z=f(x0,y)对y求导数值问题.含有抽象函数记号的函数求偏导情况（3）多元函数可偏导性与连续性的关系“可偏导”未必“连续”“连续”未必“可偏导”因为对于一元函数而言，“连续”未必“可导”，而一元函数是二元函数的特例，故一般而言，连续的二元函数未必可偏导。反例如下：偏导数的几何意义得的曲线（4）多元函数高阶偏导数二元函数z=f(x,y)关于x或关于y的偏导函数还可以对x和对y求偏导，所得结果称为函数z=f(x,y)的二

7、阶偏（导）函数，分别记为：其中，fxy’’(x,y)和fyx’’(x,y)称为二元函数z=f(x,y)的二阶混合偏导（函）数。由此易知，二元初等函数z=f(x,y)的二阶混合偏导（函）数在其有定义的点(x,y)上总是相等的：fxy’’(x,y)=fyx’’(x,y)。一般而言，有以下的一般性结论：若二元初等函数z=f(x,y)的二阶混合偏导函数fxy’’(x,y)和fyx’’(x,y)在点(x,y)上是二元连续的，则必成立：fxy’’(x,y)=fyx’’(x,y)。对三元以上的多元函数z=f(

8、x,y)也可以定义其二阶及其以上的高阶偏导数。对二元函数z=f(x,y)的二阶偏导函数同样可以讨论其偏导数，所得的结果称为二元函数z=f(x,y)的三阶及其以上的高阶偏导数。§5.全微分回顾:能表示成实际上即二元函数的可微和全微分定义如果可以表示为事实上,即证明可微连续证同理可得可微可偏导注：逆定理不成立,即可偏导不一定可微,见下面反例.所以习惯上，记全微分为多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导（4）多元函数的全微分计算实例证略第六节多元复合函数的求导法则一、复