多元函数的微积分(I)

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1、6.2多元函数的微积分主要内容：一.多元函数的概念二.二元函数的极限和连续三.偏导数的概念及简单计算四.全微分五.空间曲线的切线与法平面六.曲面的切平面与法线七.多元函数的极值1设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P))二元函数的定义：其中D称为定义域，x，y称为自变量，z称为因变量．类似地可定义三元及三元以上函数．当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数一.多元函数的概念2二元函数的图形：二元函数的图形是一张曲

2、面．例z=ax+by+c是一张平面，xyzOx0y0M0点集{(x，y，z)

3、z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)的图形．3由方程x2y2z2a2确定的函数z=f(x，y)有两个：由方程x2y2z2a2确定的函数z=f(x，y)是中心在原点，它的定义域为D={(x，y)

4、x2y2a2}．Oxy半径为a的球面．4二.二元函数的极限和连续1.二元函数的极限设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e总存在正数d，使得对于适合不等式都有

5、f(x，y

6、)A

7、

8、PP0

9、．我们把上述二元函数的极限叫做二重极限定义的一切点P(x，y)D，5(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A.例当点P(x，y)沿x轴、y轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=kx趋于点(0，0)时注意：(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在．67则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续．定义：设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0

10、)D．函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D内连续：是指函数f(x，y)在D内每一点连续．此时称f(x，y)是D内的连续函数．二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．2.二元函数的连续性如果8所以函数在原点不连续.例４函数　　　　　　　　　　　　　　　　在单位圆上各点是否连续？解：如果函数在单位圆上任何点都连续若　　　在单位圆上任何点都不连续9设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量f(x0x，y0)f(x0，y0)，（１）如果极限存在，则称此极限

11、为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记作定义偏导数的概念及简单计算1.偏导数的概念：10记作（２）如果极限则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，存在，11对自变量的偏导函数，记作偏导函数：如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数zf(x，y)类似地，可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导函数，记为偏导数与偏导函数的关系：122.一阶偏导数的计算注意：看成二者之商.13例3求zx23xyy2在点(1，2)

12、处的偏导数．解143.二阶偏导数的计算按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数那么在D内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函数．如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数．15二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．其中称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数．高阶偏导数:16解17在对x求导就有得证.18设zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，则复合函数4.复合函数的微分法(链式法则)zf[j(x，y)，y(x，y)]的偏导数为

13、：1920四.全微分全增量：zf(xx，yy)f(x，y)称为函数在点P(x，y)对自变量增量x、y的全增量．全微分的定义：如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量21记作dz或df(x,y),即或可微:当函数z=f(x,y)在(x,y)全微分存在时,称z=f(x,y)在(x,y)可微.当函数z=f(x,y)在区域D的每一点都可微时,称z=f(x,y)在区域D可微.22定理1函数z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微.定理2函数z=f(x,y))在可微点连续.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数连续，则它可微,

14、且其全微分为．23解由定义知所以得24解因为所以25五．空间曲线的切线与法平面定义:设在空间曲线上有一个定点