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《《微积分》6.4 定积分的计算方法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、由牛顿—莱布尼兹公式知:计算定积分因用凑微分法计算不定积分时自始至终可以不引入新变量,故用凑微分法计算定积分时,也应自始至终不改变积分限.下面举例说明.§6.4定积分的计算方法第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法.因而在一定条件下,也可用这几种方法来计算定积分.的关键在于求出ƒ(x)在[a,b]上的一个原函数F(x);而由一、凑微分法1例10计算23(1)在[α,β]上单调连续且具有连续导数;(2)(α)=a,(β)=b,则定理8若ƒ(x)在[a,b]上连续,而x=(t)又满足证设F(x)是ƒ(x)的一个原函数,——定
2、积分的换元公式.二、换元积分法4(3)求出在应用换元公式计算定积分时,应注意以下几个问题:(1)所选择的代换式x=(t)必须满足定理中的两个条件;(2)换元积分的关键是换限.记住“上限对上限,下限对下限”;不必象求不定积分那样把(t)还原成x的函数,而只须直接将t的上、下限代入相减即可.后,5例11当a>0时,计算6注1由几何意义知,此定积分即为圆在第Ι象限的面积.7性质1设ƒ(x)在[−a,a]上连续,则证(1)若为ƒ(x)偶函数,则有ƒ(x)=ƒ(−x)令x=−t,则dx=−dt,且从而8(2)若为ƒ(x)奇函数,则有ƒ(x)=−ƒ(−x)令x=−t,
3、则dx=−dt,且从而注2利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算.9例12计算解(1)被积函数为奇函数.则原式=0.令x=tanu,则(2)被积函数为偶函数,故10例13.设解设x=t+1,则t=x–1,dx=dt2004研考题11性质2设ƒ(x)在[0,1]上连续,则12证因d(uv)=udv+vdu,两边积分得注3注4用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量,故在计算过程中自始至终均不变限,u、v的选择与不定积分的分部积分法相同.定理9若u=u(x)及v=v(x)在[a,b]上有连续导数,则三、分部积分法1314例14计算1516例15
4、设在[0,1]上连续,求解17例16找不到原函数！18
