高等数学(微积分)课件--§6.3定积分计算方法.ppt

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1、§6.3定积分的计算方法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法既然计算定积分这种特殊类型的和式极限,可以通过计算被积函数的原函数的值来完成,所以计算定积分的过程就与计算不定积分基本类似，不定积分的一些计算方法都将在定积分计算中得到体现，并针对定积分的要求做些修正，更方便于使用。1定积分的换元法定积分换元法：设函数f(x)在区间[a,b]上连续,而x=(t)满足下列条件：⑴x=(t)在区间[,]上单调且有连续导数；⑵()=a,()=b，且当t在区间[,]上变化时,x=(t)的值在[a,b]上变化，则有换元公式口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要

2、换限)2换元法证明证：3换元法注意点1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是连续的；2：变换函数在变换后的区间内是单调的；3：变换后，积分上限、下限要发生变化。4例题与讲解例：计算解：5例题与讲解例：计算解6例题与讲解*例：计算解原式7例题与讲解例：计算解：令原式注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！8由奇偶函数的对称性以及定积分的几何意义也可说明结论正确例题与讲解★例：设f(x)在[-a,a]上连续,则证9奇函数在对称区间上的积分若f(x)是对称区间[-a,a]上的奇函数(如右图)由于奇函数关于原点对称,结合定积分的几何意义，可以得

3、出yxOy=f(x)-aaAA10偶函数在对称区间上的积分若f(x)是对称区间[-a,a]上的偶函数(如右图)由于偶函数关于y轴对称,结合定积分的几何意义，可以得出y=f(x)yxO-aaAA11例题与讲解例：利用对称性，计算解：由于sinx在[-,]上为奇函数,故12例题与讲解例：计算因为为奇函数，解：为偶函数，因此：13例题与讲解例：计算解：设换元必换限14例题与讲解*例：计算解注意：此例用的是第一换元法，原积分变量并未消失，因此,这种情形的换元，积分上、下限不变。*例：计算解15例题与讲解例：若f(x)在[0,1]上连续,试证明：并由此计算证16续上页移项,整理得1

4、7定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)以下简记为u、v在[a,b]上有连续的导数,则有即把先积出来的那一部分代上、下限求值,余下的部分继续积分,这样做比完全把原函数求出来再代上、下限简便一些。推导18例题与讲解例：计算解令则19例题与讲解例：计算解20例题与讲解例：计算解21例题与讲解例：计算解22例题与讲解例：计算解分别用定积分的分部积分法求右端两个积分．于是23例题与讲解(换元法结合分部积分法)例：计算解设24例题与讲解25小结定积分的换元法对称性的应用、几个特殊积分等式定积分的分部积分公式（注意与不定积分公式的区别）26练习[解答][解答][解答][解答]27练习[

5、解答][解答][解答][解答][解答]28解答[返回习题]29解答[返回习题]30解答x=asinty=acost2t=u31解答x=1-tdx=-dt[返回习题]32解答33解答34解答35解答36解答x=-t37解答10.设在区间上连续，且证明：（*）对（*）两边同时取定积分38