微积分-定积分4.ppt

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1、§7.4定积分基本积分方法一、直接积分法二、定积分的换元积分法解：作代换则它是单值函数，有连续导数，且当时当时故有1.这里的换元法实际上相当于不定积分的第二换元法，常用的有根式带环、三角代换、倒代换；说明：2.换元必换限，即在左变量代换后，积分上下限要做相应的改变，然后直接求出结果，不必回带，这是与不定积分的不同之处。例1计算解设当时,;当时,于是,例2计算解设注意换元公式也可逆过来使用.即这就是凑微分法。例3计算解：由于令则原式=证例3证明若为偶函数为奇函数则有结论(1)若为偶函数,则(2)若为奇函数,则例如,例4若证明并计算

2、证(1)设(2)设例5证明证明结论例6设函数计算解设练习：P751.(2)(9)P752.(5)周期函数的定积分：设是周期为的函数，即则对任意的有证明：P100第13题：三、分部积分法设函数在上有连续导数，则定积分的分部积分公式定理2与不定积分的分部积分公式对比：分部积分公式的证明：问题：设且对某个实数满足是否有又因为所以例1计算例2计算解解令例4.计算例3.计算例5.已知求解：例6.求定积分：解：令则所以例5.已知求例6.设试证：例7.设试证：连续，证明：在第二项中作代换则得到P76第5题：利用定积分来求极限：例8.求极限解：

3、考察函数在区间上的定积分，将区间作等间隔的分割，划分成个长度为的小区间，令同时取则所以练习：例9.已知求极限解：由于其中故有小结：1.计算定积分的基本方法：直接积分法、换元法、分部积分法；2.常用的技巧：解方程（回复积分法）、递推、利用被积函数函数的性质（奇偶性、周期性等）；3.利用定分求极限：关键在于将极限与定积分的定义联系起来。