定积分和微积分.doc

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1、知识点一：定积分的概念　　如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.　　说明：　　（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；　　（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.知识点二：定积分的几何意义　　设函数在区间上连续.　　在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线

2、与轴围成的曲边梯形的面积；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；　　在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点三：定积分的性质　　（1）（为常数），　　（2），　　（3）（其中），　　

3、（4）利用函数的奇偶性求积分：　　　　若函数在区间上是奇函数，则；　　　　若函数在区间上是偶函数，则.知识点四：微积分基本定理　　微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:　　如果在上连续，且，则。其中叫做的一个原函数.　　注意：　　①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函　　　数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.　　②由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积　　1.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　　()围成的曲边梯形的面积：　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　　　2．如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线　　　()围成的曲边梯形的面积：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，　　　在区间上）围成的图形的面积：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝＋.　　4.如图，由曲线及直线，围成图形的面积：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点六：定积分在物理中的应用　　①变速直线运动的路程　　　作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定　　　积分，即.　　②变力作功　　　物体在变力的作用下做直线运动

5、，并且物体沿着与相同的方向从移动到　　　，那么变力所作的功.规律方法指导　　1．如何正确理解定积分的概念　　定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。　　2．、与的几何意义　　由于被积函数在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图像可以在x轴上方，也可以x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以表示由x轴，曲线及直线（a≠b）与轴所围成的各部

6、分面积的代数和；而是非负的，曲线在x轴上方，所以表示在区间[a，b]上所有以为曲边的正曲边梯形的面积，等于曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的绝对值的和；而是的绝对值，三者的值在一般情况下是不相同的。　　3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；　　（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；　　（3）借助图形确定出被积函数；　　（4）写出平面图形的定积分表达式；　　（5）运用公式求出平面图形的面积.类型一：利用定积分的几何定义求定积分　　1．说明定积分所表示的几

7、何意义，并根据其意义求出定积分的值。　　解析：设，则，表示半径为2的个圆，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由定积分的概念可知，表示如图所示的以2为半径的圆的面积,　　　　　所以　　总结升华：利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。　　举一反三：　　【变式1】由，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是____________；　　【答案】　　【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）　　（1）（2）　　【答案】（1），（2）　　【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。　　（1）；　　　

8、　（2）；　　【答案】　　（1）设，　　　　则表示由直线，，以及轴围成的梯形的面积，　　　　该梯形面积为　　　　∴。　　（2）设，　　　　则表示由直线，，以及轴围成的矩形的面积，　　　　该矩形