定积分和微积分的基本定理

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1、1．求曲边梯形面积的思想方法和步骤；实施步骤：．在每个局部小范围内“以直代曲”(化归为计算矩形面积)和逼近的思想方法①分割；②近似代替；③求和；④取极限2．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上图象是连续曲线，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]均分成n个小区间．在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式，定积分F′(x)＝f(x)[答案]D2．用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用的力是200N，变力F做的功W为()A．5JB．10JC．20JD．40J[解析]设F(x)＝kx，则200＝k·0.1∴k

2、＝2000，∴W＝∫20.12000xdx＝1000x2

3、00.1＝10(J)．[答案]B[答案]11求由y＝x3，x＝2，y＝0所围成的区域的面积．[点评与警示]用定义求定积分的步骤：①分割，②近似代替，③作和，④求极限，其中关键是第二步近似代替，近似值替代方式不同计算繁简也不同．学习这个例题，重点在于体验其中的数学思想．[分析]利用微积分基本定理和定积分的性质求定积分．[点评与警示]利用微积分基本定理求积分，关健是求出函数f(x)的一个原函数，原函数的导数等于被积函数，由此可见，求导运算与求原函数运算互为逆运算．计算下列定积分[答案]A[点评与警示]利用定积分求面积，应先画草图，

4、求曲线的交点，确定被积函数和积分上限、积分下限．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x＋2所以a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，而Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(人教A版选修2－2习题1.7第4题)物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，V的单位：m/s)

5、在直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t(t的单位：s，V的单位：m/s)的速度运动，两物体何时相遇？相遇地与物体A的出发地的距离是多少？[分析]变速直线运动的物体所经过的路程等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上的定积分．[点评与警示]正确地写出速度函数与时间区间是解题关键．一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的路程，如果物体阻力与速度的平方成正比，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．[解]物体的速度v＝(bt3)′＝3bt2，物体的阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，

6、(其中k为比例常数k>0)．当x＝0时，t＝0，当x＝a时，1．用定义求定积分的步骤：①分割②近似代替③求和④取极限，学习重点在于体会定积分的基本思想方法．