定积分的概念、性质和微积分基本定理

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1、定积分的概念、性质和微积分基本定理十六世纪初，现代天文学创始人Kepler提出了著名的行星运动三大定律。Kepler第一运动定律指出：行星运动的轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。这一定律是Kepler以长期观察和三角测量相结合的产物。Kepler第二定律也建立在观察、测量和数值计算的基础上。这一定律指出：图3.1.1联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间内扫过相等的面积图3.1.1对此我们稍加说明。Kepler以火星为目标进行了长期观察，作出了火星运动的椭圆轨道。他把注意力集中于轨道中几个特殊点上。如图3.1.1中的A，B，C，D，E，F。这些点的取法使火星从A运动到B所需时间与它

2、从C到D的时间及E到F的时间相同。在作出从这些点到太阳所在焦点的焦半径之后，Kepler又算出了椭圆扇形ASB，CSD，ESF的面积。一个重要的发现是这些扇形面积相等，这就是Kepler第二定律提出的结论。这个发现的关键在于计算椭圆扇形的面积。为此，他把原扇形分割成许多小扇形，并近似地把小扇形看作三角形，以一列小三角形的面积之和作为椭圆扇形面积的近似值。这蕴含了求不规则图形面积的思想方法。面积问题面积问题包含两个方面：一是给出面积的定义，二是寻求计算面积的方法。设f是定义在[a,b]上的非负函数，称由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b，y=0围成的图形为曲边梯形（见图3.1.2）。

3、何谓这个y曲边梯形的面积，又如何来计算这一面积？作区间[a,b]的一个分划Oaxi-1ξixibxD：ax0x1xnb。图3.1.2分划D把[a,b]分为n个小区间，每个小区间[xi1,xi]的长度为xixixi1。在[xi1,xi]上任取一点i，考察以yf(i),y0,xxi1,xxi围成的小矩形，其面积为f(i)xi。把n个小矩形面积相加，得到nf(i)xi。i1记maxx，如果随着分划越来越细，即0，上述和式的极限存在，就定ii义曲边梯形的面积A为这个极限，即nAlimf(i)xi。0i1以上我们既给出了

4、曲边梯形面积的定义，也给出了计算面积的途径：分割、求和、取极限。计算面积的详细过程演示路程问题设质点P沿一直线运动，它在时间段[0,t]中通过的路程为s(t)，在时刻t的速度为v(t)。当v(t)是常数v时，s(t)的计算十分简单：s(t)vt。但是，当v(t)(000)依赖于t作变化时，s(t)的计算就不那么简单了。为了计算时间段[a,b]中质点P所通过的路程Ss(b)s(a)，我们作这个时段的一个分划atttb，01n并记ttt，maxt，于是iii1inS[s(ti)s(ti1)]。i1从形式上看，S的这种分解对求解并无实质性帮助。但

5、是，如果速度是连续变化的，当很小时，每个小时段[t,t]中可以“以匀速代变速”，即任取i1i[t,t]，有s(t)s(t)v()t，因此ii1iii1iinSv(i)ti。i1注意，当最大小时段越短，即越小，这种以匀速代变速的精确度越高，从而质点P在时段[a,b]中经过的路程为nSlimv(i)x。0i1以上两个不同的几何量和物理量的计算，最后都归结为结构相同的和式的极限。撇开各类问题的具体背景，抽象出其数量关系的共同特征，就引出了下述定积分的概念。定积分的定义定义3.1.1设f是[a,b]上的有界函数。对[a,b]的任意分划D:ax

6、xxb，01n任取[x,x]，并记xxx（i1,2,,n）。作和式ii1iiii1nf(i)x，i1称之为Riemann和。记maxxi，如果0时Riemann和的极限存在，就称if是[a,b]上的Riemann可积函数，简称为可积函数；称此极限为f在[a,b]上的bRiemann积分，简称为定积分，记作f(x)dx,即anbf(x)dx=limf(i)xi。a0i1b在记号f(x)dx中，称f为被积函数，x为积分变量，分别称a，b为积分的a下限与上限。显然，积分值与积分变量符号的选取无关，即bbf(x)dx=f(

7、t)dt。aa对定积分的定义，要作两点补充说明。首先，定义中所谓Riemann和的极限存在，同时还包含着这一极限与区间分划方式D及的取法无关的要求，即，如果存在实数I，对于任意给定的0，i存在0，当0maxxi时，对任意的i[xi1,xi]，总有in

8、f()x-I

9、，iii1那末，I才是f在[a,b]上的Riemann积分。其次，上面的定义中原先要求ab。为了运算和应用的方便，补充规定af(x)dx0。a又规定