定积分与微积分的基本定理-副本

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]

2、上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①kf(x)dx＝kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.[探究]　1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)

3、dt是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积

4、分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．[自测·牛刀小试]1.dx等于(　　)A．2ln2　　　　　　　　　B．－2ln2C．－ln2D．ln2解析：选D　dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)A.B.C.D.解析：选A　S＝(t2－t＋2)dt＝＝.3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：

5、x2dx＝x3＝.答案：4．(教材改编题)dx＝________.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以dx＝π.答案：π5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A，B，所以阴影部分的面积，dx＝＝－2ln2.答案：－2ln2利用微积分基本定理求定积分[例1]　利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)x(x＋1)dx；(4)dx；(5)sin2dx.[自主解答]　(1)(x2＋2x＋1)dx＝x

6、2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝.(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)－sinx＝2.(3)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx＝x2dx＋xdx＝x3＋x2＝＋＝.(4)dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.(5)sin2dx＝dx＝dx－cosxdx＝x－sinx＝－＝.———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数

7、为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)

8、x－1

9、dx；(2)dx.解：(1)

10、x－1

11、＝故

12、x－1

13、dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝＋＝1.(2)dx＝

14、sinx－cosx

15、dx＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝－1＋(－1＋)＝2－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2]　dx＝________.[