定积分与微积分基本定理(1)

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1、数学复习新思路（高考一轮学案）第62讲定积分与微积分基本定理(许吟裕)课标要求①通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。知识要点1．定积分的概念与计算（1）定义表达式：（2）定积分几何意义：①表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积②表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数（3）函数可积的两个充分条件：

2、①设上连续，则在[a,b]上可积。②设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。（4）定积分的性质①②③（5）微积分基本定理（牛顿--莱布尼兹公式）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系。（6）定积分的计算323学好数学数学复习新思路（高考一轮学案）①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式④换元法与分部积分法2．定积分的基本应用：（1）定积分在几何上的应用——计算平面图形的面积（2）定积分在物理上的

3、应用①变速直线运动的路程，②变力作功。回归基础1．()A.2；B.0；C.1；D.-12．（）．A．；B．；C．；D．3．利用定积分定义和牛顿-莱布尼兹公式两种方法计算定积分4．计算5．求曲线,及所围成图形的面积。例题分析例1．设连续，且，求.解：记，则两端积分得：，323学好数学数学复习新思路（高考一轮学案）例2．利用定积分的几何意义计算定积分①②③解：①如图：积分是长方形的面积∴=3②如图：积分是两个三角形的面积和∴=1③如图是圆面积：积分是图中阴影部分的面积=例3．已知弹簧的弹性恢复力与弹簧的伸长量成正比，某弹簧的伸长量

4、为，弹性恢复力为，如果把弹簧由原长拉伸，计算需做功多少？例4.一质点以速度（m/s）沿直线运动，求在时间间隔〔1，4〕上的位移。解：即质点没直线移动了（m）.例5．设函数在上连续且单调增加，证明在内存在点，使曲线与两直线，所围平面图形面积是曲线与两直线，所围图形面积的三倍。证：设是上任一点，与分别表示图中两块曲边三角形面积，由于是的连续函数，只要证明该函数在内有零点即可。构造函数323学好数学数学复习新思路（高考一轮学案）由于连续，因此2在上连续，又由连续函数介值定理知，使故即学科综合例6．设在连续且递减，证明：当时，.证：，

5、，又证，作，则只需证：，又，故当，探索发现例7．设平面图形A由与所确定，求图形A绕直线323学好数学数学复习新思路（高考一轮学案）旋转一周所得的旋转体体积解：因与直线的交点为和，选为积分变量，，相应平面图形绕旋转一周所得的旋转体的体积微元为其中，，故得：积分得：第一个积分中，令，得例8设函数在闭区间，在开区间内大于零，并满足（常数），又曲线与，所围图形的面积值为，求函数，问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小？解：由题设知，当时，即，由在连续性得，又由已知条件得从而，因此由于旋转体的体积为323学好数学数学复习新思路

6、（高考一轮学案）令，，所以当时，该旋转体体积为最小。归纳小结1．定积分的概念，要抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。2．牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系，微积分基本公式。3．换元积分法和分部积分法构成本讲的基本方法，在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。定积分的分部积分法。熟练掌握这些基本方法。4．定积分应用主要表现在：（1）求平面图形的面积（2）变速直线运动的路程（3）变力作功。应着重讲透处理问题的思想方

7、法——微元法，对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。5．用定积分求各类物理量的基本思路是：（1）建立坐标系，将要求的物理量转化为求某区间上的定积分。（2）用元素法：“局部近似得元素，元素积分得总量”，列出定积分的表达式。6．定积分的思想即“分割→近似代替→求和→取极限”，它为我们研究某些问题提供了一种思维模式．自我评价A组夯实基础1．下列积分结果正确的有（）①.=2/3②.③.=1④=3e-3A①③④B②③④C①②③D①②④2．若是上的连续偶函数，则．A．B．0C．D．3．设连续函数f

8、(x)>0,则当a