解读定积分与微积分基本定理

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1、解读定积分与微积分基本定理　　一、知识点精析　　知识点1　曲边梯形的面积　　曲边梯形是曲线与平行于轴的直线，和轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：　　（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间上看，用个分点将区间分成个小区间（不一定相等）．　　（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高，为底的小矩形面积为，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值．　　（3）求和：将分割成的个矩形面积加起来，其和为，它是所求曲边梯形的面积的近似值．　　（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值

2、就越接近于曲边梯形的面积，当中的最大值时，的极限存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积．　　知识点2　定积分　　设函数定义在区间上，用分点，把区间分成个小区间，其长度依次为，记为这些小区间长度的最大值，当趋近于时，所有的小区间的长度都趋近于，在每个小区间内任取一点，作和式．当时，如果和式的极限存在，我们把和式的极限叫做函数在区间上的定积分，记作，即．其中，叫做被积函数，叫积分下限，叫积分上限，叫做被积式，此时称函数在区间上可积．　　理解说明：　　（1）定积分是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示

3、无关，即（称为积分形式的不变性）．　　（2）在定积分的定义中，总是假设，而当及时，不难验证，．这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号．　　（3）在区间上求连续函数的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：　　①分割：将区间等分成个小区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：．　　知识点3　定积分的几何意义　　一般情况下，定积分的几何意义是表示由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积的代数和．　　在区间上，当函数时，曲边

4、梯形位于轴的上方，定积分的几何意义是由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积，即．　　当函数时，曲边梯形位于轴的下方，在右端的和式中，由于，，所以有，从而定积分的值为负值，此时由轴、曲线以及直线，所围成的曲边梯形的面积应是或．　　因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：　　①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；　　②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；　　③计算各个定积分，求出所求的面积．　　知识点4　微积分基本定理　　如果，且在上可积，则，这个结论叫微

5、积分基本定理，其中叫做的一个原函数．也常记为．　　理解说明：　　（1）由于，所以也是函数的原函数，其中为常数．（2）利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的一个原函数，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算．　　二、应注意的几点　　1．根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便．　　2．利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．　　3．，与有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于被积函数在闭

6、区间上可正可负，因而它的图象可都在轴的上方，也可都在轴的下方，还可以在轴的上下两侧，所以表示轴、曲线以及直线，所围成图形的面积的代数和；而被积函数是非负的，所以表示在区间上以为曲边的曲边梯形的面积，而则是的绝对值，三者的值一般是不相同的．