9.2 一阶微分方程

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1、9.2一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为:F(x,y,y)0,其中F(x,y,y)是x,y,y的已知函数.一、可分离变量方程形如f(x)dxg(y)dy的一阶微分方程,称为分离变量方程.对方程f(x)dxg(y)dy的两边积分f(x)dxg(y)dyC为该方程的通解,其中f(x)dx,g(y)dy分别为函数f(x),g(y)的一个具体的原函数,C为任意常数.注:设dF(x)f(x)dx,dG(y)g(y)dy.则由f(x)dxg(y)dydF(x)dG(y)d[F(x)G(y)]0F(x)G(y)Cf(x

2、)dxg(y)dyCf(x)dxg(y)dyC.凡是能够经过运算化为f(x)dxg(y)dy形式的一阶微分方程均为可分离变量方程.dy1例:(x)h(y),则(x)dxdy为可分离变量方程.dxh(y)例:M(x)M(y)dyN(x)N(y)dx0,1212N(x)1则M(y)dyN(y)dx022M(x)1N(x)M(y)12dxdy为可分离变量方程.M(x)N(y)12将微分方程化为分离变量形式求解微分方程的方法,称为分离变量法.dy2例:求微分方程x(1y)的通解.dxdy解:分离变量:xdx21y12

3、arctanyxC212ytan(xC),其中C为任意常数.2dy例:求微分方程(x3)4y的通解以及y(0)3的特解.dxdy4解:当y0时,分离变量:dxlny4lnx3Cyx34C4C4lnyln(x3)Cln[e(x3)]ye(x3)C44Cye(x3)C(x3),其中Ce为非零的任意常数.11dy显然y0也是方程(x3)4y的解.dx4而且y0可以看作yC(x3)中令C0而得到.114故方程的通解为:yC(x3),其中C为任意常数.114114由y(0)3

4、C33C特解为:y(x3).112727dy12例:求微分方程(1y)的通解.dx2dy1dy11111解:当y1时,分离变量有:dxdx[]dydx21y2(1y)(1y)221y1y2111y1yxC[]dydxln1yln1yxClnxClnln(e)1y1y1y1y1yxCCx1yCx1yxCeeeeeCe,其中Ce为非零的任意常数.111y1y1yxxxxC1e11y(1y)CeCeCeyy,其中C

5、为非零的任意常数.111x1Ce11xdy1Ce1显然y1也是(1y2)方程的解.而y1可以看作y1中令C0时得到.x1dx2Ce11xCe1故原方程有解:y1,其中C为任意常数与y1.x1Ce11二、齐次微分方程dyy形如f()的一阶微分方程,称为齐次微分方程,简称齐次方程.dxx齐次方程可通过变量替换化为可分离变量方程求解.y即令u,则yux,其中uu(x)为新的未知函数,x仍为自变量.xdudu1故yuxuuxuf(u)xf(u)udx,f(u)u0.dxf(u)uxduy

6、lnxC.将u代入即可求得原方程通解.f(u)ux注:如果常数a为方程f(u)u0的根,duy那么显然ua也是方程xf(u)u的解,即a也是原方程的一个解.dxx3232例:求微分方程(x2xy)dy(2y3yx)dx0的通解.y3y322()3()dy2y3yxdyxxy2u33u解:32.令u,则有xuudxx2xydxy2x12u212()3x2du3u2u2u12udxxu.当u0时,分离变量有:()du22dx12u12u2ux1dx11222(u)duln

7、uulnxClnuu2lnx2Cln(x)2C2ux222uu2u2C22C22C2u2C2lnulneln(ex)lnln(ex)exueex22uuee22u2C2u22CueexueCx,其中Ce为非零的任意常数.11du2uu22显然u0是方程x的一个解.而u0可看作ueCx中令C0时得到.211dx12udu2uu22故方程x有解:ueCx,其中C为任意常数.211dx12uy2y2yy()()将u代入,则原方程有通解:exCx2yexCx

8、3,其中C为任意常数.111xxyy例:求微分方程y