一阶常微分方程

《一阶常微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、教案一阶常微分方程教学内容在数学理论和实际应用中的许多问题，常常会归结为含有未知量的导数的微分方程问题，因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具，也是经常使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握，是进一步了解和学习更深入的微分方程理论知识的基础，是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解以下几方面的内容：（1）介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理；（2）重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和Bernoulli方程的解法；（3）介绍一些可化为这几类方程的方法；（4）根据一些简单数学模型，介绍数学建模的思想。教学思路和要求（1）

2、变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和Bernoulli方程，是本节的内容的基础和重点。（2）因为有固定的方法，如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧，对于学生们来说就不容易了。这就需要多举例和适当引导，特别是典型技巧的介绍。（3）通过一些具体实例，介绍一些简单数学模型的建立方法，这对于学生们了解数学的应用很有帮助，也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教学内容的重要环节。教学安排一．解的存在与唯一性定理导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式dyf(x,y),dx（1

3、0.2.1）y(x)y.00对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理f定理10.2.1（解的存在与唯一性定理)如果f(x,y)和(x,y)在矩形区域y{(x,y)

4、

5、xx

6、a,

7、yy

8、b}上连续，那么存在一个正数h（0ha），使得00定解问题（10.2.1）在

9、xx0

10、h上有唯一的解y(x)，即在

11、xx0

12、h上成立(x)f(x,(x))及(x)y。00这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以

13、用初等函数或它们的有限次积分来表达（这种方法称为初等积分法）。例如，Liouville在1841牛2就证明了方程yyx不能用初等积分法来求解，虽然它看起来形式很简单。因此，下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍。二．变量可分离方程dy若一阶方程f(x,y)中的f(x,y)可以分解成x的函数g(x)与y的函数dxh(y)的乘积，即dyg(x)h(y)（10.2.2）dx则称其为变量可分离方程。若g(x)与h(y)连续，把原方程改写成dyg(x)dx，h(y)对两边取不定积分，得dyg(x)dx，h(y)1若G(x)是g(x)的一个原函数，H(y

14、)是的一个原函数，就得到方程的通解h(y)H(y)G(x)C，①这里C是任意常数。这种形式的解也称为隐式解。若y是方程h(y)0的根，函数yy也是方程（10.2.2）的解，而且这个解00并不一定包含在通解的表达式中。例10.2.1求解微分方程2dy2y1。dx解将此方程化为变量可分离方程dy21y，dx①今后我们总用C表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同，也不再特别说明。即dydx。21y两边积分得arcsinyxC；即ysin(xC)。注意y1也是方程的两个解，但它们并不在通解之中。例10.

15、2.2解定解问题dysinxylny,dxye.2解将此方程化为dydx，ylnysinx两边积分得lnlnyln(cscxcotx)lnC。即lnyC(cscxcotx)。由ye得C1。因此定解问题得解为2cscxcotxye。例10.2.3设函数f在(0,)上可导，且满足x32f(t)dt(xx)f(x)2，1求f(x)。x32解显然f(1)1。对f(t)dt(xx)f(x)2两边求导得1322f(x)(xx)f(x)(3x2x)f(x)，因此函数f满足方程32

16、2(xx)y[1(3x2x)]y。对方程分离变量得2dy13x2xdx，3232yxxxx两边积分得213x2xlnydx3232xxxx2213x2x1113x2xdxdxdxdx3232232xxxx1xxxxx132ln(1x)lnxln(xx)lnC.x所以11yCex。3x因此f就具有上述形式。又由f(1)1得Ce，所以111f(x)ex，x(0,)。3x例10.2.4（跟踪问题一）设A在初始时刻从坐标原点沿y轴正

17、向前进，与此同时B于(a