一阶常微分方程的解法

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1、-一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solutionoffirst-orderdifferentialequationAbstract:Differentialequations,importantpartsofcalculus,arewide

2、lyusedintheresearchofpracticalproblems,whichalsoplayimportantroleinmathematics.Thesolutionofadifferentialequationissummarizedbriefly,andillustratestheanalysisofvariableseparableequation,lineardifferentialequation,integralfactor,exactdifferentialequation,mainlysummarizesthee

3、lementarysolutionoffirstorderdifferentialequations,andthetypicalexamplestoillustrate.Keywords:variableseparation;integralfactor;non-homogeneousdifferentialequation;constantvariationmethod1.引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题,能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离

4、，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2.一般变量分离2.1变量可分离方程形如（1.1）或（1.2）的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程[1].(1)显式变量可分离方程的解法在方程（1.1）中，若，（1.1）变形为----积分得　　　　　（1.3）此为（1.1）的解．若，使，则也是（1.1）的解．注：当不包含于（1.3）时要特别补上解．例1：求解方程．解:当时，方程的通积分为，即　　　　　即.另外，方程还有解，不包

5、含在通解中.(2)微分形式变量可分离方程的解法方程（1.2）是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，和在方程中的地位是“平等”的，即和都可以被认为是自变量或函数[1].在求常数解时，若，则为方程（1.2）的解.同样，若，则也是方程（1.2）的解.当时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分例2:求解方程----解:首先,易见为方程的解.其次,当时,分离变量得积分，得方程的通积分（C≠0）或（C≠0）以上内容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变

6、量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.2.2可化为变量可分离方程(1)第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程如果一阶显式方程（1.4）的右端函数可以改写为的函数，那么称方程（1.4）为一阶齐次微分方程,也可以写为(1.5)作变量变换(1.6)于是，从而(1.7)把（1.6），（1.7）代入（1.5）得即(1.8)方程（1.8）是一个变量可分离方程,当时,分离变量并积分,得到它的通积分----(1.9)或即其中.以代入,得到原方程(1.5)的通积分若存在常数,使，则是(1.8)的解,由,得是原方程（1.5）的解[1]

7、．例3：解方程解：将方程化为,令，代入上式得,即易于看出,为这个方程的一个解,从而为原方程的一个解.当时,分离变量得两端积分后得或将换成,并解出,便得到原方程的通解.(2)第二类可化为变量可分离的方程形如（2.1）的方程是第二类可化为变量可分离的方程[1].其中均为常数.分如下情况：----　　.即用变量代换即可化为可分离变量的微分方程．令则是可分离变量的微分方程．　　若不全为零，则代表平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为令，则上述方程变为则（1.7）变为为可分离变量的微分方程．注：若，则为的情形．例4：求方程.----解：令,则，

8、代入得到，有，所以，把u代入得到。例5：求方程.解：由,得,令,有，代入得到，令，有，代入得到，化简得到，，有，所以有故代入得到3常数变易法一阶线性微分方程的一般形