常微分方程25一阶隐式微分方程

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1、§2.5一阶隐式微分方程一阶显式微分方程一阶隐式微分方程例求解微分方程1解：方程右端分解因式，得从而得到两个方程故原方程的通解可以表示为通解也可以表示为2一、可解出y或x的方程与微分法从方程中解出得到这里设有连续偏导数,关于解法：引进参数则方程变为将上式两边对求导，得3若求出方程的通解为代入原方程得通解为若还有解代入得特解情形1：情形2：4情形3：若能求出通积分，同理若解出x，完全类似。则得到参数形式的通积分其中是参数。则得到参数形式的解如果还有解5例１(微分法)：求解方程解：令则原方程可写成两边对x求导得到整理化简后得方程6对积分得该方程的通解为得原方程的一个解又从得另一

2、个解又得方程的一个解7Clairaut方程特点：关于能解出的一阶隐式方程，二阶连续可微，且利用微分法求解此方程.令,对x求导得当时,有,因此通解为时,得到方程的一个特解当8二、不显含x或y的方程与参数法若方程的左端不显含x，解法：引进参数则方程变为引入参数t将上式用参数曲线表示为就可以得出微分方程用参数形式表示的解。下面只须求出x关于t的参数方程9由参数的微分法知故积分得方程的解为10例(参数法)求微分方程解：令解得由于积分得故原方程参数形式的通解为消去此参数t,得到通解为11三、奇解与包络在P点任何一个邻域内方程如果对每一点的解在P点与相切，都有一个不同于则称为微分方程的

3、奇解。设一阶隐式方程有一个特解12奇解存在的必要条件：定理2.4设对连续，且对有连续的偏导数和是微分方程的一个奇解，并且若函数P-判别式。则奇解满足一个联立方程组：消去得到方程在平面上确定的曲线称为P-判别曲线。13奇解存在的充分条件：定理2.5设对二阶连续可微,且由微分方程的P--判别式得到的函数是微分方程的解.若条件是微分方程的奇解.成立,则14例：讨论方程的奇解。解：对方程有它的P判别式为又从两个方程消去p得是奇解。因此是方程的解。显然15例：单参数曲线族表示圆心为（a,0）在L上每一点都有曲线族上的某一曲线与之相切，给定以c为参数的曲线族及曲线L，如果并且在L的每一

4、段上都有曲线族的无穷多条曲线与之相切。我们就把这条曲线L称为曲线族的包络。半径为定长r的一族圆。此曲线族有包络及16例：求曲线的包络。解：命则为了消去c将二式代入一式得由得再由得因此由C判别曲线分解成两条直线，和不是包络，是包络。17内容小结隐式方程可解的形式P831（3,5），2（1,6），4（1,3）作业奇解和包络或或18§2.7一阶微分方程的应用1.曲线族的等角轨线设给定一个平面上以C为参数的曲线族（2.7.1）我们设法求出另一个以k为参数的曲线族（2.7.2）使得曲线族（2.7.2）中的任一条曲线与曲线族（2.7.1）中的每一条曲线相交时成定角样的曲线族（2.7.2

5、）是已知曲线族（2.7.1）则称这的等角轨线族。19当时，称曲线族例如：曲线族是曲线族的正交轨线族。例求抛物线族的正交轨线族。解：对方程两边关于x求导得由解出C代入上式得曲线族在点处切线斜率为正交轨线族。是的20由于所求曲线族的曲线与中的曲线在正交，故满足方程这是一个变量可分离方程,求解得的正交曲线族为这是一个椭圆.21P.971（3,4）作业3，9，1122