一类爪形矩阵的逆特征值问题

《一类爪形矩阵的逆特征值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第31卷第9期绍兴文理学院学报Vo1．31No．92011年9月J0URNALOFSHAOXINGUNIVERSITYSpet．2011一类爪形矩阵的逆特征值问题尹幼奇赵利刚(绍兴文理学院数学系，浙江绍兴321000)摘要：讨论了一类爪形矩阵的逆特征值问题，给出了问题有解的充要条件，并且给出相应的算法，数值实例说明该算法是可行的．关键词：爪形矩阵；逆特征值问题；特征值；特征向量；最大(小)特征对中图分类号：O151．21文献标识码：A文章编号：1008-293X(2011)09—0007一o41预备知识在数值代

2、数中，给定矩阵A∈R，求它的特征值及特征向量，称之为矩阵特征值问题；反过来，给定矩阵A的特征值和特征向量的某些信息，求矩阵A，称之为逆特征值问题．矩阵的逆特征值问题的应用背景非常广泛，它不仅来自于对数学物理逆问题的离散化，而且来自固体力学、粒子物理、量子力学、结构设计、系统参数识别、自动化控制等许多领域．矩阵逆特征值问题的提出往往都有其具体应用背景，且讨论不同形式特殊矩阵的解法时，可以提出各种形式的逆特征值问题【】]．本文讨论一类特殊的实对称矩阵J812A=●：，当i≠时，f≠，1si,jrt一1，且>0，i=

3、1，2，⋯，一1卢1⋯Ot(为了叙述方便，同文献[2]，称形如A的矩阵为爪形矩阵)的逆特征值问题．在现代控制论的非线性调节系统中，调节系统控制方程的参数矩阵常常是形如A的这类矩阵】．因此讨论这类矩阵的性质和逆特征值问题是有实际意义的．有关矩阵的逆特征值问题的研究已经有了一些成果．本文提出如下的逆特征值问题：问题给定非零向量∈R，Y∈R(kI．Z，求矩阵A，使得(A，)是矩阵A的最大特征对，(，y)是矩阵A的最小特征对．其中Otn+1一卢n+1一n+2一n+2一A=‘．(k=1，2，⋯，

4、n一1)，>0(i=1，2，⋯，n一1)．’．+1一+2一⋯1Ol一为了以后证明的方便，不妨设>Ol>⋯>Ot，因为总可以经过若干行、列初等变换化为这种形式．引理1爪形矩阵A的特征值互异，即适当排序后有A>A>⋯>A，且Al>Ot1>A2>⋯>A一l>Ol一1>A．收稿日期：2011—07—23作者简介：尹幼奇(1979一)，女，浙江嵊州人，讲师，硕士，研究方向：代数．8绍兴文理学院学报(自然科学)第31卷引理2爪形矩阵A的特征值A>A>⋯>A分别对应的标准正交的特征向量为，，：，⋯，，则Xu,／≠o(j=1，

5、2，⋯，n，=1，2，⋯，n)，其中％表示的第个分量．引理3若爪形矩阵A的最大特征对为(A，)，其中=(⋯一，)，则向量的所有分量符号一致，即向量或是正向量，或是负向量；反之，若A的某个特征向量是正向量(或负向量)，则它对应的特征值一定是最大特征值．证明由于(A。，，)是矩阵A的最大特征对，所以+JB=A(i=1，2，⋯，／i,一1)．由引理2，n≠0得：，(=1，2，⋯，一1)．(1．1)f1p‘由于>0(i：1，2，⋯，n一1)，以及由弓I理1有Al>1>A2>⋯>A一1>一1>A，从而分量(i<)均与分量

6、同号．因此当。>0时，特征向量为正向量；当，<0时，特征向量为负向量．反之，如果特征向量为正向量或负向量，由式(1．1)，可知A>ol，结合引理可知A为最大特征值．引理4若爪形矩阵A的最小特征对为(A，)，其中=(，：，⋯，)，则分量：，⋯，同号且与分量异号．反之，若A的某个特征向量满足这种特性，则它对应的特征值一定是最小特．．．征值．证明与引理3的证明过程类似，故省略．2问题的解下面将利用爪形矩阵的性质弓l理解决第1部分中提出的问题．定理1给定两个互异实数

7、最后一个分量均大于零，则存在矩阵A，使得(A，)是矩阵A的最大特征对，(tz，，，)是矩阵A的最小特征对的充要条件为：(i)向量∈R“为正向量，向量Y的前Ii}一1个分量均为负；(ii)∑xiY>0．证明不妨设A=A，A=tx，=，y=)，，且(1i)，(1J)分别表示，Y的第，第个分量．必要性．因为(A，)和(，)，)分别为矩阵A的最大、最小特征对，所以由引理3、4及定理条件可知条件(i)成立．由(A，)是矩阵A的最大特征对，有Oli+JB=A，(i=1，2，⋯，n一1)，(2·1)n一1∑+=A．(2·2)

8、而(，Y)是的最小特征对，所以oLiyi+卢)，=／xy(i=n+1一后，n+2一，⋯，一1)，(2．3)n一1∑。+y=(2·4)将式(2．1)的后一1个方程与式(2．3)的方程联立，即』+mA“(i：n+1一后，+2一，⋯，n一1)．(2．5)【Y“+。Y=n由条件(i)有>0，Y<0，(i=n+1一，+2一，⋯，一1)，所以)，“一y<0，(i=+1一，+2一，⋯，n一1)，也就