一类特殊矩阵的逆特征值问题

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1、第48卷第1期厦门大学学报(自然科学版)Vo1．48No．12009年1月JournalofXiamenUniversity(N们atural；Science)Jan．2009一类特殊矩阵的逆特～征．．值．问题^￡一}n吴春红，卢琳璋(厦门大学数学科学学院，福建厦门361005)6卅口卅．．．摘要：讨论一类具有特殊形式的矩阵A的两类逆特征值问题．问题I是由A的顺序主子阵A(一1，2，⋯，)的最小、最大特征值来构造矩阵A；问题II是由A的顺序主子阵A(一1，2．⋯，)的所有特征值来．构．造矩阵A．分别给出了两

2、．．类逆特征值问题有解的充分必要条件且结果具有构造性，另外提供了相应的算法和数值例子，数．值结果表明算法很有效．n一"关键词：逆特征值问题；Jacobi矩阵；箭．状阵；最大特征值；最小特征值中图分类号：O241．6文献标识码：A文章编号：0438—0479(2009)01—0022—05本文讨论的矩阵具有如下形式：问题I给定2一1个实数i，(=1，2，⋯，n)，讨论什么条件下，可构造出具有形式(1)的矩阵A，使得，j分别为Aj的最小，最大特征值．问题II给定i”，i<；幻，⋯，{<；<⋯<，且：<’<’<；

3、<⋯0．用Rayleigh—Ritz法求对称阵的特征值时，通常将A投当=0时，具有形式(1)的矩阵为Jacobi阵，Jacobi影到一个维数较小的子空间S，取Q为子空间S的标矩阵的逆特征值问题具有广泛的应用，关于这一问题的研究已有一些较好

4、的结果[1；当=”时，具有形准正交基，则H=QAQ的特征值称为A的Ritz值，式(1)的矩阵就变成了除了第一行，第一列及对角线特别地，若取Q一[，e。，⋯，e，]，则QAO：==．元素外其余元素都为零的矩阵，即箭状矩阵，箭状矩阵本文首先讨论A的一些性质，然后推出了问题I在现代控制理论[8和星形弹簧质量系统的振动问和问题II有解的充分必要条件，最后分别给出了求解题Ll中有广泛应用，文献[11]讨论了其逆特征值问两类逆特征值问题的算法和数值例子．题．本文研究具有形式(1)的矩阵的逆特征值问题，实1A的性质际上是

5、Jacobi阵和箭状矩阵逆特征值问题的进一步推广．令仍()=det(M—A)，铷()=1；bo=0．．文章中用A表示具有形式(1)的一类特殊矩阵；引理1对给定具有形式(1)的矩阵A，其特征A表示A的xJ阶顺序主子阵，其特征值为{≤多项式序列()：t满足下列递推关系：；≤⋯≤；()表示AJ的特征多项式；J为阶一1单位阵；e为J的第列．()一(一日，)()一6Ⅱ(—Gi)，f=2本文讨论如下两类逆特征值问题：J一1，2，⋯，m+1(2)()一(一)一1(

6、=【)一l2(．=I)，===+2，m+3，⋯，n(3)

7、收稿日期：2008—06—3O基金项目：国家自然科学基金(10531080)资助证明利用行列式展开易证．*通讯作者：Izlu@xmu．edu．cn因n(一2，3，⋯，m)互不相同，不妨假定Ⅱ2<口3第1期吴春红等：一类特殊矩阵的逆特征值问题·23·，Ⅱ一h，<⋯<Ⅱ，则一II(—’)．当<时，若是偶数，则()>o；嘶¨引理2若A(—l，2，⋯，m)的特征值)为，’≤f=l≤⋯≤

8、：【，贝0(—l，2，⋯，m，i：==1一，2，⋯m，)若是奇数，则()<0，因此(一1)()>0；当>时，不论是偶数还是奇数，仍

9、()>0．为互不相同的实数，且∑／f

10、<；。<⋯<”<，由引理4知，若；，即存在m≠，使得Ⅱ一a，这与n(一2，3，⋯，)互为A的特征值，则分别为A，的最小、最大特征值，不相同矛盾，因此a(是：==2，⋯，)不为A的特征值．因此问题有解等价于方程：又由柯西交错定理”知：i≤“。≤；≤⋯≤j‘-1≤a，≤，因此0，：==l，2，⋯，．引理3相邻的特征多项式序列(J=