广义箭形矩阵特征值反问题

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1、广义箭形矩阵的特征值反问题李志斌（大连交通大学数学系，辽宁大连，116028）摘要：本文研究广义箭形矩阵的特征值反问题。给定两个特征对，求广义箭形矩阵使两个特征对为其特征对.文中讨论了问题解的存在唯一性，给出了问题解的表达式，通过数值算例验证了算法的有效性.关键词：广义箭形矩阵；特征值；反问题；唯一性中图分类号：O241.6；文献标识码：A1.问题的提出矩阵的特征值反问题具有较好的工程背景，对其研究有着明显的意义【3】.如结构设计、模式识别、参数识别、自动控制等等，都会出现特征值反问题。特征值反问题以研究Jacobi矩阵较多【4-5】，但对于箭形矩阵特征值反问题的研究较少，相关结论也不

2、多【2】，【6】。本文研究广义箭形矩阵的特征值反问题，广义箭形矩阵是指如下形状矩阵：（1）当时，成为广义Jacobi矩阵【1】；当时，成为箭形矩阵.本文研究如下特征值反问题：问题A给定两个互异实数和两个非零实向量，求n阶实矩阵为已知非零实数），使得.本文第2节给出问题A的可解性及唯一性定理，给出了问题解的表达式，第3节通过数值算例验证了算法的有效性.以下永远约定：，（2），（3）.（4）2.问题A的解因是矩阵的特征对，于是有,（5-1），（5-2）…………,（5-m）,(5-m+1),(5-m+2)…………,(5-n-1).(5-n)因是矩阵的特征对，于是有,（6-1），（6-2）……

3、……,（6-m）,(6-m+1),(6-m+2)…………,(6-n-1).(6-n)(1)反演.由式（5）和（6）有，（7）.（8）为了消去，在式（7）两边乘以，在式（8）两边乘以，然后两式相减，得.（9）对于问题A，由于，故式（9）化为.（10）取，由于，则；取，；取，.一般情况下，.（11）若，则不能同时为零。于是有，（12），（13）.（14）（2）反演.由式（5）和式（6）的第m+1个方程，采用式（4）的记号，我们有，（15），（16）.（17）（3）反演和.由式（5）和式（6）的第2至m个方程有，（18）.（19）由式（18）和（19），采用式（4）记号，我们有，（20）,（

4、21）.(22)（4）反演.由式（5）和式（6）有，（23）.（24）若，由式（23）和式（24）有，（25）.（26）综上，对问题A，我们有以下定理.定理如果以下条件满足：（1）；（2）；（3）.则问题A有唯一解，且，（27），（28），（29）,（30）,(31),(32),(33)(34),(35).(36)3.数值例子例1给定.容易计算.故定理条件满足，问题A有唯一解.于是，,,;,,,;，，,,.于是且.参考文献[1]李志斌，赵鑫鑫，李伟.广义Jacobi矩阵特征值反问题[J].大连交通大学学报，2008,29（4）：6-10.[2]吴春红，卢琳璋.一类特殊矩阵的逆特征值反问

5、题[J].厦门大学学报（自然科学版），2009，1：22-26.[3]王大钧.机构动力学中的特征值反问题[J].震动与冲击，1998,2:31-43[4]戴华.Jacobi矩阵特征值反问题[J].计算物理，1994,4:451~456.[5]彭娟.几类特殊矩阵逆特征值反问题和几类约束矩阵方程问题[D].长沙：湖南大学，2006.[6]殷庆祥.箭形矩阵的广义特征值反问题[J].南京航空航天大学学报，2002,34（2）：190-192.