广义全酉矩阵和广义（反）全hermite矩阵

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1、广义全酉矩阵和广义（反）全Hermite矩阵第33卷第2期2011年4月湖州师范学院JournalofHuzhouTeachersCollegeVo1.33No.2Apr.,2011广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵方玲凤,蔡静(湖州师范学院理学院,浙江湖州313000)摘要:运用特殊矩阵理论,推广了全酉矩阵和(反)全Hermite矩阵概念,给出了广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵的定义,研究了广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵的基本性质,得到了一些相关推论,并揭示了广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵的内在联系.关键词:广义全酉矩阵;广义全

2、Hermite矩阵;广义反全Hermite矩阵中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号:1009—1734(2011)02—0036—05MSC2000:15A090引言特殊矩阵是线性代数的重要组成部分,作为一种基本的数学工具,在数学学科及应用科学领域(如数值分析,优化理论,微分方程,概率统计,现代经济数学等)都有着广泛的应用口q].特殊矩阵的类型有很多,如酉矩阵,Hermite矩阵,Hankel矩阵,Toeplitz矩阵,M一矩阵,H一矩阵等,这些特殊矩阵都有着各自良好的性质,这些性质在经济学,物理学,工程等许多应用学科中有着广泛的应用,因此对特殊矩阵的性质进行研究具有

3、重要的意义.目前,关于酉矩阵和Hermite矩阵的性质研究已较为广泛和深入_3].在上述研究工作的基础上,文献[7]对酉矩阵和Hermite矩阵概念进行了推广,给出了拟酉矩阵与拟Hermite矩阵的定义及基本性质.文献[81给出了强酉矩阵的概念,并讨论了它的相关性质.文献[9]～[11]探讨了次酉矩阵,次Hermite和反次Hermite矩阵的特征值,次特征值,以及各类矩阵之间的关系.文献[12]给出了广义次酉矩阵的定义,研究了广义次酉矩阵的性质.文献[-13],[14-1研究了广义酉矩阵和广义(反)Hermite矩阵的性质及其相互关系.文献[-151～[17]对全转置矩阵与全正

4、交矩阵概念做了复数域上的推广,定义了共轭全转置矩阵,(反)全Hermite矩阵,左酉矩阵,右酉矩阵以及全酉矩阵,并讨论了其性质及相互关系.鉴于现有的研究成果,尚未拓展到更广泛的广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵,而上述矩阵相对于全酉矩阵和(反)全Hermite矩阵,有着许多特殊的性质,因此对其进行系统,深入的研究,有助于进一步丰富特殊矩阵的相关理论,深化,拓广其应用.1预备知识文中,C和尺分别表示复数集与实数集,表示m×n复矩阵集合,detA表示复方阵A的行列式,表示detA的共轭,ldetAI表示detA的模,,A,A.,A分别表示,z阶矩阵A的共轭矩阵,转置矩阵,全

5、转置矩阵,共轭全转置矩阵,A表示A的余子阵,I,J分别表示单位矩阵和次单位矩阵.文中所提到的矩阵,若无特别声明,均指复矩阵.定义1E"设n阶矩阵*收稿日期i2011—03—04基金项目:浙江省自然科学基金项目(Y6110043);湖州市自然科学基金项目(2010YZ05)作者简介:方玲凤,湖州师范学院理学院2007级本科生,从事特殊矩阵理论研究.第2期方玲凤,等:广义全酉矩阵和广义(反)全Hermite矩阵37A==a11口21口r厂1.1a1a12a22口一1.2an2则称B为A的全转置矩阵,记作B—A..定义2r"设阶矩阵A==a11a21口11a"1a12口22口一1.2a

6、"2a1a2口"一1.&埘al0.2"n"一1.n埘.B一.B===n埘n"一1.a2"a1"nn."一1口"一1.,r1a2.,r1a1.一1日n,n一1n"一1.,rla21a1.,r1其中a是‰的共轭复数,称B为A的共轭全转置矩阵,记作B—A一.注1若B一(6)为A一(&)的共轭全转置矩阵,则bf—a一斗一,+.根据定义2,可得共轭全转置矩阵的如下基本性质.性质1["设A,B为阶复方阵,尼为复常数,则有:(1)r.===I,J一J;,(2)(A+B)一A+B～,(AB)_.一AB～,(乜4)一一;(3)(A_.)_.=:=A,(A)一(A)～,detA一de

7、tA.2广义全酉矩阵的定义与性质an1a1.1a21a11an1以"一1.1a21a11定义3设A∈C舣",如果存在非奇异矩阵U∈.使得AUA—U,则称A是由U确定的广义全酉矩阵,记这种广义全酉矩阵的集合为G.注2当U—时,由己,确定的广义全酉矩阵即为全酉矩阵.定理1设AEGu,则(1)A的行列式的模ldetAl一1;(2)A一.E(一,A一EGv,AEGu.证明因为AEC-v,所以AUA—U,从而(1)IdetAI.detU—detAdetUdetA—detA_.detUdet