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1、酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中,都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造.本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵.酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵,有很多良好的性质,在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理
2、，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。关键词:酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。ThestudyofUnitarymatrixandHermitematrixWeiLong201131402AbstractWiththedevelopmentofscienceandsociety,peoplegetadeeperunderstandingofmath,andtheuseofmathbecomesmoreandmorewidely.Inmanybranchesofmathem
3、aticsandengineeringapplications,arerelatedtosomespecialnatureandstructurematrix.Thispaperdiscussesaspecialkindofmatrix-unitarymatrixandHermitematrix.Thetwokindsofmatrixastwospecialskindofmatrix,therearemanygoodproperties.Inthematrixtheoryplaysanimportantrolei
4、nthestudyofthistopiccouldbemoreperfectmatrixtheory.Inthispaper,weusetheknowledgeoftheunitarymatrixandOrthogonalmatrix,thenatureoftheunitarymatrix,theconstructionoftheunitarymatrixtogetafirstimpressionoftheunitarymatrix,andmakeabasementtofartherstudy.Andwestud
5、ytheHermitematrixbytheknowledgeofthenatureofHermitematrix，determinedtheorem，positivedefinitematrixandtheHermitematrixinequality.Keywords:unitarymatrix；Hermitematrix；Orthogonalmatrix;Characteristicvalue第一章酉矩阵第一节酉矩阵的概念及等价条件1.1.1正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足的阶实矩阵称为正交矩阵.在矩阵理
6、论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2若阶复方阵满足则称为酉矩阵.定义1.1.3若阶复方阵满足则称为酉矩阵.定义1.1.4若阶复方阵满足则称为酉矩阵.注:表示矩阵的共轭转置，即.定义1.1.5若阶复方阵的个行(
7、列)向量是两两正交的单位向量,则称为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的.从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知,酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得,阶酉矩阵的个行(列)向量构成的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4]对任意的阶矩阵有.引理1.1.3[5]对任意的阶矩阵和阶可逆矩阵,有引理1.1.4[6]对任意的阶矩阵和阶矩阵,有引理1.1.5[6]阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是：或者定理1.1.1阵为酉矩阵的充分必要条件是这里表示行列的模,
8、表示的共轭复数.定理1.1.2二阶矩阵为酉矩阵的充分必要条件是为下列三种形式之一:(i)(ii)(iii)这里,为整数.定理1.1.3阶矩阵为酉矩阵的充要条件是:对任意阶矩阵B,有:第二节酉矩阵的性质1.2.1运算性质1.2.1酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1设为酉矩阵，则都是酉矩阵.证明因为所以是酉矩阵.因为所以是酉矩阵.因为所以是酉矩阵.定理1.2.2设为酉矩阵,
