反幂法求矩阵特征值

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1、一．问题描述用幂法与反幂法求解矩阵特征值求n阶方阵A的特征值和特征向量，是实际计算中常常碰到的问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题等。对于n阶矩阵A，若存在数和n维向量x满足Ax=x（1）则称为矩阵A的特征值，x为相应的特征向量。由线性代数知识可知，特征值是代数方程

2、I-A

3、=+a+…+a+a=0（2）的根。从表面上看，矩阵特征值与特征向量的求解问题似乎很简单，只需求解方程（2）的根，就能得到特征值，再解齐次方程组（I-A）x=0（3）的解，就可得到相应的特征向量。上述方法对于n很小时是可以的。但当n稍大时，计算工作量将以惊人的速度增大，并且由于计算带有误差，方程（2）未必是精

4、确的特征方程，自然就不必说求解方程（2）与（3）的困难了。幂法与反幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法,特别是用于大型稀疏矩阵。这里用幂法与反幂法求解带状稀疏矩阵A[501][501]的特征值。二．算法设计1．幂法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,…1)）,置精度要求，置k=1.（2）计算v=Au,m=max(v),u=v/m（3）若

5、m-m

6、<，则停止计算（m作为绝对值最大特征值，u作为相应的特征向量）否则置k=k+1，转（2）2.反幂法（1）取初始向量u（例如取u=(1,1,…1)）,置精度要求，置k=1.（2）对A作LU分解，即A=LU（3）解线性方程组Ly=

7、u,Uv=y（4）计算m=max(v),u=v/m（5）若

8、m-m

9、<，则停止计算（1/m作为绝对值最小特征值，u作为相应的特征向量）;否则置k=k+1，转（3）.一．程序框图1.主程序开始设置二维数组Q[5][501]存放矩阵A的带内元素平移求最大特征值和最小特征值结束fanmifa(A)反幂法求按模最小特征值mifa(A)幂法求按模最大特征值计算u[1]到u[39]2.子程序(1).幂法迭代程序框图开始计算幂法初始向量fabs(b-c)/fabs(b)<=1e-12？Return(b)并printf("幂法成功！")返回>b=sgn(h)*u[l];找到Max(fabs(u[i])

10、)迭代求u[i]=u[i]+A[i-j+2][j]*y[j];y[i]=u[i]/fabs(h);c=b;(2).反幂法迭代程序框图开始计算反幂法初始向量Return(1/b)并printf("反幂法成功")返回>LU分解前保存A[i][j]和y[i]的值c=b;LU分解fabs(b-c)/fabs(b)<=1e-12？解线性方程组求出u[i]迭代求b=b+y[i]*u[i];一．结果显示计算结果如下：矩阵的按模最大特征值为:-1.070011361487e+001矩阵的按模最小特征值为:-5.557910794230e-003矩阵最大的特征值为:9.724634101479e+000

11、矩阵最小的特征值为:-1.070011361487e+001与各最接近的（用表示）的值如下：v[1]=-1.018293403315e+001u[1]=-1.018949492196e+001v[2]=-9.585707425068e+000u[2]=-9.678876229054e+000v[3]=-9.172672423928e+000u[3]=-9.168257536145e+000v[4]=-8.652284007898e+000u[4]=-8.657638843237e+000v[5]=-8.093483808675e+000u[5]=-8.147020150328e+000

12、v[6]=-7.659405407692e+000u[6]=-7.636401457419e+000v[7]=-7.119684648691e+000u[7]=-7.125782764510e+000v[8]=-6.611764339397e+000u[8]=-6.615164071601e+000v[9]=-6.066103226595e+000u[9]=-6.104545378693e+000v[10]=-5.585101052628e+000u[10]=-5.593926685784e+000v[11]=-5.114083529812e+000u[11]=-5.083307992

13、875e+000v[12]=-4.578872176865e+000u[12]=-4.572689299966e+000v[13]=-4.096470926260e+000u[13]=-4.062070607058e+000v[14]=-3.554211215751e+000u[14]=-3.551451914149e+000v[15]=-3.041090018133e+000u[15]=-3.040833221240e+000v[16]=-2