数学解题的“四种策略”

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1、万方数据上海中学数学·2014年第7～8期25数学解题的“四种策略”*324006浙江省衢州高级中学何数思维工作室何豪明解题之所以成功，很大程度上依赖于选择最适宜的方法．笔者在分析数学解题策略的总体原则基础上，具体分析数学解题的四种策略：差异分析策略，回归原理策略，寻找母体策略，哲学思考策略．1高中数学解题策略的总体原则数学解题，首先是用不同的数学语言理解题目的已知条件、解题目标和解题过程，其次是在不同的数学语言的转换与问题的化归过程中完成解题．例l非零向量n，6满足ln+6l—ln一6I一生箬I云1，求向量

2、三+若与云一弓的夹角．(1)用不同的数学语言理解已知条件文字语言：非零向量丑，6和的模等于差的模，并且等于向量三的模的拿#倍．图形语言：表示非零向量口，6为边的平行四边形的两条对角线相等(矩形)，且等于向量n的模的学倍．(2)用不同的数学语言理解解题目标符号语言：设向量n+6与口一6的夹角为目，则(口+6)·(n一6)一In+6IIn一6Icos目．图形语言：向量n+6与口一6的夹角表示以非零向量口，6为边的平行四边形的两条对角线的夹角．(3)用不同的数学语言理解解题过程寻找已知条件和解题目标之间的不同数学语

3、言之间的联系，这就是解题过程．解法1(已知条件的符号语言和解题目标的符号语言之间的联系而产生)：I三+若I一半㈦因为l。一，平方相加得I6{2一旧一若j一挲㈣lo寺In2，代人求得(口+6)·(口一6)一÷ln2．因为(n+6)·(口一6)一Jn+6lJ口一6cos9，所以co妇一÷，因为o≤臼≤丌，所以臼一号．解法2(已知条件的图形语言和解题目标的图形语言之间的联系而产生)：如图1，在矩形ABCD中，设蕊一左，商=若，则前一n+6，D百一n一6，因此向量口+6与口一6的夹角就是么口．在直角三角形OCE中，设

4、么CoE—d，因为1OCI一厅．1。‘等Inl，IEcI一÷l口I，所以图1sim一等，得a一号，目一丌一2口一号．解法3(已知条件的文字语言和解题目标的文字语言之间的联系而产生)：1i—I姻，横腰△Boc帆。s导一裂一譬，iI口I因为o≤导≤号，所以臼一号．波利亚认为对不理解的问题做出答复是愚蠢的．因此，要解决问题，首先得理解问题，而理解问题最好的方法就是用不同的数学语言理解它所提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法等．2高中数学解题策略的具体实施基于高中数学解题策略的总体原则，针对不同类型题

5、目的不同特点，又可以分化出不同的解题策略．下面整理出四种类型的题目，分别以差异分析策略、回归原理策略、寻找母体策略和哲学思考策略加以分析说明．2．1差异分析策略差异分析策略是指通过分析条件与结论之间的差异，并不断减少目标差来完成解题的策略．它是“综合——分析法”的一种特殊形式．运用差异分析策略解题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题．在这里就从分析目标差入手，向着减少目标差的方向前进．*全国教育科学十一五规划2010年教育部重点课题“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”(GOAlO?ol

6、o)研究成果．万方数据26上海中学数学·2014年第7～8期例2在△ABC中，求证：c(及cosB一6cosA)一n2—62．解法1(应用余弦定理化角为边，消除目标差)略。解法2(应用正弦定理化边为角，消除目标差)略．解法3(作差等于o，消除目标差)(同解法1)略．解法4(作差等于o，消除目标差)(同解法2)略．从差异分析的观点看，解三角形一类的问题，如果题目既涉及到角，又涉及到边，那么可以应用正弦定理或余弦定理消除边角的差异，将其转化为边的问题或角的问题进行求解．2．2回归原理策略例3现有6名同学去听同时进

7、行的5个课外知识讲座，每名同学可以自由选择听其中的一个讲座，求不同选法的种数．这是涉及重复排列问题的高考题．而在高中数学人教A版教材选修2—3第一章计数原理中，重复排列问题的渗透力度得以加大，其中有9处涉及到有重复排列的问题．因此在教学中，教师有必要提炼出重复排列问题的一般原理，并加以应用．(1)重复排列问题的一般原理寄信原理：把咒封信投入m个信箱，当且仅当每次投出一封信，共有多少种不同的投信方法?解析：因为从集合A一{口，，口：，口。，⋯，口。)到集合B一{6。，6：，63，⋯，巩}的不同映射的个数是m”，

8、所以把竹封信投入优个信箱共有优”种不同的投信方法．(2)重复排列问题的具体应用根据寄信原理，例3相当于把6封信投入5个信箱，当且仅当每次投出一封信，共有56种不同的投信方法．再看下面5个问题(答案均为53)，它们的形式各不相同，但其解题的思维本质是完全相同的，都是把3封信投人5个信箱，当且仅当每次投出一封信的问题．问题1一辆公交车有5个下客站，求车上3名乘客不同的下车方式种数．问题23名工人分别要在