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时间:2019-05-30
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1、2008年第47卷第l0期数学通报31直线向量的参数形式在解题中的运用王宽明刘静(韩山师范学院数学与信息技术系521041)(西南大学数学与统计学院400715)全日制普通高级中学数学教科书(实验修订例1如图(2),已知G是△ABC的重心,过本·必修)第二册(下B,P。)(人民教育出版社,G作直线和AB、AC分别交于D、E,求证:2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量l}十Jf一。酉一·a,6(be:0),n//b的充要条件是存在实数,使n—Xb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且分析本题可利用直线向量的参数形式来解平
2、行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点决,但问题的解决必须找到一个恰当的切人点,而0,点P、点B在直线L上的充要条件是存在实数理想的切入点是在利用三点共线的基础上,找到t,满足0p===(1一t)0+tolg,这就是直线向量的向量之间的关系,从向量的结构思想人手,实现几参数表示.如图(1)所示::(1一£)+f蔺.何问题代数化.所谓几何问题代数化就是把几何中最基本的几何量一“两点的相对位置(位移)”用代数式的形式表示.两点的相对位置是几何中最基本的几何量,它包括距离和方向两个因素,把这两个因素进行抽象就可得到向量了.运用欧氏空
3、间的基本运算性质.就把抽象的几何推理转化为具体的代数运算,从而实现了几何问题代数化.证明由共线向量定理,可知存在Lz,∈R.圈1满足一,一.-ad.则一,书上没有给出证明,不少老师上到这里一带而过,没有明确地给出该结论成立的充要条件,大:_l¨都为了解题需要.只是提到了其右边系数和是常因为G为△4B(,的重心.数1的特征,轻描淡写地敷衍过去.其实,除了这个特征之外,直线向量的参数形式至少还有两点所以一_;_一号·丢(+)=内容可挖掘:一是存在三点共线的条件;二是运用(+).了向量的结构思想.在解题教学中,熟练掌握直线向量参数形式
4、的内涵.可以丰富学生对数学规律且:一一(a-/~+)一一和数学本质的认识.(1一z)+了1A-2而历一一一一,又因为D、G、E三点共线.所以∥茄.由共线向量定理得:D-d—亩,即(1一)+吉:-y).图232数学通报2O08年第47卷第1O期因为,不共线.由向量相等可得,蔚一一一(一1)n十,茄一一1f1一—1一Lz一一=-I1+61T“11_“I亏】即一一一寺,所以x+y3xy,一一一枷+(一1)b,掠一一—一Ay一3。一。n—bl十),即+-s-故+因为A,G,P三点共线.所以∥由向量从直线向量的参数本质来看,直线向量的参共
5、线定理得:_-!一÷即—m⋯(1)数满足三点共线条件.三点共线是几何图形中最常见但又是最容易被忽视的条件,有些同学虽然注意到了,但不知道如何利用.其实利用直线向量的参数形式,可以把三点共线转化为数量等式关同理可得:一l_即m-l~-n(1+)系,从而把几何问题代数化,只需进行若干向量运⋯(2)算.从本例可以看出,运用直线向量的参数形式能—V一即(1+y)一-%一1)⋯(3够把三点共线关系迅速转化为数量关系,从而得—l’1+),出所证结论,思路清晰,且较好地体现了数学中的数形结合思想.由(1)(2)(3)联立消去研,得一r例2(塞
6、瓦定理)如图(3),设G是AABC内且I]AfT=I,E··任一点,连AG、BG、CG并延长分别交BC、CA、AB于P、Q、R.求_证:·器·篙一1本题关键是利用直线向量的参数形式贯通整个问题解决,应用向量的结构思想来思考问题的.本题可从向量的角度来思考,把几何关系转建立几何结构与向量结构的关系,实现用代数方化为向量关系,运用向量的结构思想来证明.法来解决几何问题.我们知道:结构数学是现代数学发展的主要方向.应用结构思想理解向量,可以培养学生结构数学思想.即通过向量学习还可以为学生学习现代数学的思想、方法打下基础.在直线向量的参
7、数表示中,如图(1),只须令一1一t,一t.则直线向量的参数就可推广到共面向量定理了,即一+(这里,可为一切实数).本例中一脚+曲的设法是根据向量共面证明由于向量与、与、与定理得到的,是联系赢,苟与口,6之间关系商是共线向量,且方向相同.则由共线向量定理可知存在,,y∈R+,满足茚一,一的“桥梁”.例3如图(4),在Q-X,一y商△A0B中,0C:OA一1:4,0D:OB===1:2,--7.所以本题实际上只要证明鱼IPCl··A_D和BC交于M,点面I-A~I一y一1就行了E在线段AC上,点F.为了书写简便,这里我们在线段BD
8、上,且满足0CE不妨令一n,一b.则存在,∈R,使得向量EF过M点,存在,图4∈R,满足碡一,一枷+.一fl碚.=+茚一+击===口+去(61口求证:+一1.一口)一1_n+6(下转第37页)2008年第47卷第1O期数学通报37解得,>L笪且≠2+—+⋯+无法
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