直线向量的参数形式在解题中的运用

《直线向量的参数形式在解题中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2008年第47卷第l0期数学通报31直线向量的参数形式在解题中的运用王宽明刘静(韩山师范学院数学与信息技术系521041)(西南大学数学与统计学院400715)全日制普通高级中学数学教科书(实验修订例1如图(2)，已知G是△ABC的重心，过本·必修)第二册(下B，P。)(人民教育出版社，G作直线和AB、AC分别交于D、E，求证：2003)给出共线向量定理：对空间任意两个向量l}十Jf一。酉一·a，6(be：0)，n／／b的充要条件是存在实数，使n—Xb．其中介绍一个推论：如果L为经过点A且分析本题可利用直线向量的参数形式来解平

2、行于已知非零向量a的直线，那么对于任一点决，但问题的解决必须找到一个恰当的切人点，而0，点P、点B在直线L上的充要条件是存在实数理想的切入点是在利用三点共线的基础上，找到t，满足0p===(1一t)0+tolg，这就是直线向量的向量之间的关系，从向量的结构思想人手，实现几参数表示．如图(1)所示：：(1一￡)+f蔺．何问题代数化．所谓几何问题代数化就是把几何中最基本的几何量一“两点的相对位置(位移)”用代数式的形式表示．两点的相对位置是几何中最基本的几何量，它包括距离和方向两个因素，把这两个因素进行抽象就可得到向量了．运用欧氏空

3、间的基本运算性质．就把抽象的几何推理转化为具体的代数运算，从而实现了几何问题代数化．证明由共线向量定理，可知存在Lz，∈R．圈1满足一，一．-ad．则一，书上没有给出证明，不少老师上到这里一带而过，没有明确地给出该结论成立的充要条件，大：_l¨都为了解题需要．只是提到了其右边系数和是常因为G为△4B(，的重心．数1的特征，轻描淡写地敷衍过去．其实，除了这个特征之外，直线向量的参数形式至少还有两点所以一_；_一号·丢(+)=内容可挖掘：一是存在三点共线的条件；二是运用(+)．了向量的结构思想．在解题教学中，熟练掌握直线向量参数形式

4、的内涵．可以丰富学生对数学规律且：一一(a-／~+)一一和数学本质的认识．(1一z)+了1A-2而历一一一一，又因为D、G、E三点共线．所以∥茄．由共线向量定理得：D-d—亩，即(1一)+吉：-y)．图232数学通报2O08年第47卷第1O期因为，不共线．由向量相等可得，蔚一一一(一1)n十，茄一一1f1一—1一Lz一一=-I1+61T“11_“I亏】即一一一寺，所以x+y3xy，一一一枷+(一1)b，掠一一—一Ay一3。一。n—bl十)，即+-s-故+因为A，G，P三点共线．所以∥由向量从直线向量的参数本质来看，直线向量的参共

5、线定理得：_-!一÷即—m⋯(1)数满足三点共线条件．三点共线是几何图形中最常见但又是最容易被忽视的条件，有些同学虽然注意到了，但不知道如何利用．其实利用直线向量的参数形式，可以把三点共线转化为数量等式关同理可得：一l_即m-l~-n(1+)系，从而把几何问题代数化，只需进行若干向量运⋯(2)算．从本例可以看出，运用直线向量的参数形式能—V一即(1+y)一-％一1)⋯(3够把三点共线关系迅速转化为数量关系，从而得—l’1+)，出所证结论，思路清晰，且较好地体现了数学中的数形结合思想．由(1)(2)(3)联立消去研，得一r例2(塞

6、瓦定理)如图(3)，设G是AABC内且I]AfT=I,E··任一点，连AG、BG、CG并延长分别交BC、CA、AB于P、Q、R．求_证：·器·篙一1本题关键是利用直线向量的参数形式贯通整个问题解决，应用向量的结构思想来思考问题的．本题可从向量的角度来思考，把几何关系转建立几何结构与向量结构的关系，实现用代数方化为向量关系，运用向量的结构思想来证明．法来解决几何问题．我们知道：结构数学是现代数学发展的主要方向．应用结构思想理解向量，可以培养学生结构数学思想．即通过向量学习还可以为学生学习现代数学的思想、方法打下基础．在直线向量的参

7、数表示中，如图(1)，只须令一1一t，一t．则直线向量的参数就可推广到共面向量定理了，即一+(这里，可为一切实数)．本例中一脚+曲的设法是根据向量共面证明由于向量与、与、与定理得到的，是联系赢，苟与口，6之间关系商是共线向量，且方向相同．则由共线向量定理可知存在，，y∈R+，满足茚一，一的“桥梁”．例3如图(4)，在Q-X，一y商△A0B中，0C：OA一1：4，0D：OB===1：2，--7．所以本题实际上只要证明鱼IPCl··A_D和BC交于M，点面I-A~I一y一1就行了E在线段AC上，点F．为了书写简便，这里我们在线段BD

8、上，且满足0CE不妨令一n，一b．则存在，∈R，使得向量EF过M点，存在，图4∈R，满足碡一，一枷+．一fl碚．=+茚一+击===口+去(61口求证：+一1．一口)一1_n+6(下转第37页)2008年第47卷第1O期数学通报37解得，>L笪且≠2+—+⋯+无法