直线参数方程在解题中应用

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1、直线参数方程在解题中应用　　在新课程标准下，苏教版《数学选修4-4》中安排了直线的参数方程，它是对《数学必修2》第二章平面解析几何初步中直线方程知识的进一步延伸，同时也为研究直线与圆、直线与圆锥曲线的问题提供了另一条途径.数学实践和学生体会表明：用直线的参数方程解决一些问题，有时更方便和简捷，本文通过具体的例子加以说明.一、计算问题利用直线参数方程x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）中参数t的几何意义解决与距离、弦长、线段长、点的坐标有关的问题.例1：已知直线l过点P（2，0），斜

2、率为■，直线l和抛物线y■=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）

3、PM

4、；（2）M点的坐标.解：（1）设直线的倾斜角为α，依题意可得tanα=■，∴sinα=■，cosα=■，∴直线l的参数方程为x=2+■ty=■t（t为参数）（*）.∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y■=2x中，整理得58t■-15-50=0且Δ>0.设方程的两个根为t■，t■，∴t■+t■=■，t■t■=-■.由于M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

5、PM

6、=

7、■

8、=■.（2）∵中点M

9、所对应的参数为t■=■=■，将此值代入直线的参数方程（*），点M的坐标为x=2+■×■=■y=■×■=■，M（■，■）即为所求.一般地，直线x=x■+tcosαy=y■+tsinα（t为参数）与曲线y=f（x）交于A，B两点，对应的参数分别为t■、t■，则线段

10、AB

11、的中点M对应的参数t=■.由t的几何意义得

12、PA

13、+

14、PB

15、=

16、t■

17、+

18、t■

19、=t■+t■=3■.一般地，直线与二次曲线相交，用直线参数方程解题时，则有弦长为

20、t■-t■

21、；直线上的点P到两交点的距离和为

22、t■

23、+

24、t■

25、，距离涉及

26、t的正负时要加以区分.因为，直线参数方程的标准方程中含有三角函数cosα，sinα（α是直线的倾斜角），所以，在解决直线与圆锥曲线有关问题时，可以将其转化为三角函数问题解决，体现了转化、化归的数学思想，达到数学知识的综合运用，在解高考数学试题时也有用武之地.下面我们以高考题为例加以说明.二、范围问题5求参数的取值范围，是高考的热点和难点问题，由于求参数范围的方法众多，如何选择往往成为考生思考的难点.如果选择直线的参数方程，利用三角函数的值域求解，则比较简单.例2（2008年高考福建卷理科第21题）

27、：如图，椭圆■+■=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有

28、OA

29、■+

30、OB

31、■sin■θ恒成立，∵sinθ∈[0，1]，∴■>1，②∵椭圆的一个焦点F（1，0），∴C=1，b■=a■-c■=a■-1③由②，③得a■　　因为a>0，b>0，所以a0，解得a>■或a■.本例在解题中，充分发挥了直线参数方程在解题中的优势（参数的几何意义、三角函数

32、变换），由恒成立问题、三角函数的值域，巧妙地利用椭圆中a、b、c的关系实施转化，得到了关于a的二次不等式使问题获解，解题目标明确，思路清晰，方法可行.三、证明问题5例3（2013年全国理科高考卷第21题）：已知双曲线C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F■，F■，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为■.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）设过F■的直线l与C的左、右两支分别相交于A，B两点，且

33、AF■

34、=

35、BF■

36、，证明：

37、AF■

38、，

39、AB

40、，

41、BF■

42、成等比数列.解：（Ⅰ）易得a=1，

43、b=2■，c=3，双曲线方程为x■-■=1.（Ⅱ）如图，∵F■（3，0）∴设过F■的直线为x=3+tcosκy=tsinα（t为参数）其中

44、AF■

45、=-t■，

46、BF■

47、=-t■，

48、AB

49、=

50、AF■

51、-

52、BF■

53、=

54、AF■

55、+2a-

56、BF■

57、+2a=4a=4，即-t■+t■=4①将直线参数方程代入双曲线方程，得8（3+tcosθ）■-t■sin■θ=8，化简得（9cos■θ-1）t■+48cosθ·t+64=0.由韦达定理知，t■+t■=■，t■t■=■.由①式知

58、AB

59、=

60、t■-t■

61、=4，∴

62、A

63、B

64、■=16②另一方面，5（t■-t■）■=（t■+t■）■-4t■t■=（■）■-4×■=16，解得cos■θ=■.∴

65、AF■

66、·

67、BF■

68、=t■t■=■=16③由②③知，

69、AF■

70、·

71、BF■

72、=

73、AB

74、■，即

75、AF■

76、，

77、AB

78、，

79、BF■

80、成等比数列.该题的常规解题思路有两种：（1）涉及直线与圆锥曲线综合问题时，就是联立方程组用韦达定理求解，该思路清晰，但因其运算量较大，学生常常望而生畏.特别用该方法求

81、AF■

82、、

83、AF■

84、、

85、BF■

86、、

87、BF■

88、时还需用到两点间距离公式，无疑