反函数(讲案)

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1、南部中学高2011级第一轮复习资料反函数求反函数的步骤:①求原函数值域②反解函数③改写并注明定义域反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；即：点在上点在上（）两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y＝x上（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。（3）互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数

2、不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）函数y＝f(x)的定义域是它的反函数的值域；函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f-1(x)的定义域.（6）若y＝f(x)(x∈A)，与(x∈C)互为反函数，则有（）（）（7）x＝f(y)与y＝f-1(x)是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同精题选讲例1.(1)函数的反函数是DA.B.C.D.(2)函数y=(x0)的反函数是B（A）（x0）（B）（x0）（C）（x0）（D）（x0）例2.函数f(x)=-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是()

3、A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)C.a∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞]分析:二次函数f(x)=-2ax-3的图象开口向上,对称轴方程为x=a,又f(x)=第4页共4页南部中学高2011级第一轮复习资料-2ax-3在[1,2]上存在反函数f(x)在[1,2]上是单调函数.故以对称轴x=a对于区间[1,2]的相对位置为主线展开讨论:(1)当a≤1时,f(x)在区间[1,2]上递增,故f(x)在[1,2]上存在反函数;(2)当a≥2时,f(x)在区间[1,2]上递减,故f(x)在[1,2]上存在反函数;(3)当1

4、函数.选D.（A）（D）（C）（B）例3.函数的反函数图像是(C)例4.若函数是函数的反函数，且，则A．B．C．D．2反函数是,又,即,所以,,故,选A.例5.已知函数,若则实数的取值范围是ABCD例6.已知函数的反函数为，则()C（A）0（B）1（C）2（D）4例7.设f是函数f(x)=的反函数,若[1+f][1+f]=8,则f(a+b)的值为()A.1B.2C.3D.分析:从求f切入,设y=则x=-1(y∈R)改写得y=-1(x∈R)∴f=-1(x∈R)∴由已知得=8a+b=3.∴f(a+b)=f(3)==2,应选B.第4页共4页南部中学高2011级第一轮复习资料例8.(1)记的反

5、函数为，则方程的解2．(2)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f,f(4)=0,则f=-2例9.(1)若f(x)为一次函数,且=25x-30,则f(x)=(2)若f(x)=(,)的反函数为自身,则=(1)f(x)=+1(x∈R)或f(x)=-+(x∈R)(2)a=-2.例10.已知函数f(x)=,y=g(x)的图象与y=的图象关于直线y=x对称,求g()的值.解法一：由已知得=(x≠-2)∴=-(x≠-3又g(x)的反函数为,∴=∴=-①令g()=b,则=②∴由①②得-=,解得b=-1,∴g()=-1.解法二:令g()=b,则=①又由题设知g(x)的反函数为,∴=②

6、∴由①②得=∴f()=b+1∴b+1=0,即b=-1故得g()=-1.解法三:由题设知的反函数g(x)又的反函数为f(x)-1∴g(x)=f(x)-1∴g()=f()-1=0-1=-1.例11.设函数f(x)=(a>0,a≠1)(1)求f(x)的反函数f;(2)讨论的单调性;(3)若不等式的解集为(-2,0),求a的值.分析:从f(x)的定义域切入,求f(x)的值域(即f第4页共4页南部中学高2011级第一轮复习资料的定义域),(2)的讨论与(3)的求解均要立足于f的定义域.解:(1)由f(x)有意义得，f(x)的定义域为[1,+∞).∴当a>1时,由x≥1得x+≥1∴f(x)≥0;当

7、01时有x=(y≥0)改写为f=(x≥0)当01时,有x≥0,∴(f)≥0(等号当且仅当x=0时取值)∴f在定义域[0,+∞)上为增函数;(ⅱ)当0