第31讲-反函数-基础.doc

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1、反函数教学目标1.理解反函数的概念2.会求函数的反函数导入（1）走进人民路上一家2元超市，买件商品需要多少钱？；（2）量力而行，现有20元钱，能买多少件商品？10件；（3）若有元（2的倍数）能买多少件？.第（1）问说明钱数是购买商品的件数的函数，第（3）问说明件数是钱数的函数.这两个函数互为反函数.知识梳理1..定义：设函数的定义域为，值域为，由求出.如果对于中每个值，在中都有唯一的值和它对应，那么为以为自变量的函数，叫做的反函数，记作，（）.2.函数反函数成立的条件：对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应，即与必须一一

2、对应.3.求反函数的一般步骤：（1）变形：解方程，得；（2）互换：互换的位置，得；（3）写出定义域：注明反函数的定义域.4.互为反函数的两个函数的关系：①从函数角度看：若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域；②从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称；③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性；④若点在图像上，则必在图像上；⑤已知，求，可利用，从中求出，即是.典例精讲类型一：反函数存在的充要条件例1（★★）给出下列几个函数：①；②；③；④；⑤.其中不存在反函数的

3、函数序号是　　.【答案】⑤.（反函数存在的条件：一一对应）类型二：反函数的求法例2（★★）求下列函数的反函数：（1）；【答案】解：∵，∴.互换，的位置，∴.（2）.【答案】解：∵，∴.∵，∴.互换，的位置，.∵，∴.∴.（“三步走”求反函数，易漏点：定义域）类型三：利用反函数的概念求函数值例3（★★）已知，则.【答案】解：令，∴.∴.（反函数的是原函数的，反函数的是原函数的）例4.（★★）若点既在的图像上，又在它的反函数的图像上，则，.【答案】解：，.(原函数过点,则反函数过点)课堂检测1.（★★）函数在区间上存在反函数的充要条件是（）

4、.；.；.；..【答案】.2．（★★）设，则（）.；.；.；　　..【答案】.3．（★★）已知，则___．【答案】.4.（★★）已知函数的图象过点，又其反函数的图象经过点，则的表达式为___．【答案】.【解析】解：，∴.∴.5．（★★）求下列函数的反函数（1）；【答案】（2）．【答案】回顾总结1.函数反函数成立的条件：对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应，即与必须一一对应.2.求反函数的一般步骤：（1）变形：解方程得；（2）互换：互换的位置，得；（3）写出定义域：注明反函数的定义域.3.求函数的反函数简单吗？容不容易出

5、错解：简单，但是容易漏掉反函数的定义域既原函数的值域4.①原函数和反函数图像关于对称.②若点在图像上，则图像上必有.