数学第二十讲：反函数.doc

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1、第二十一讲：反函数可曾记得，不久前我们曾仔细讲解过函数和映射．又众所周知，函数是由定义域A、值域B以及A到B上的对应法则f三部分组成的一类特殊的映射．还应记得，映射中有一种特殊的映射：一一映射。一一映射有一个非常闪亮耀眼的特点：当f：A→B是集合A到集合B上的一一映射时，就存在f：A->B的逆映射：B->A。没错，一一映射有逆映射，逆天的逆，这是一般映射不具有的性质，今天我们就专门研究这个逆映射，如果一个一一映射的正映射是一个函数，那么它你逆映射又是什么函数呢？这个函数与原来的函数有什么关系吗？我们先看一个例

2、子：若y=f(x)=2x，x∈R，不难得出此函数的映射为：f：A->B（f：x->y=2x）因为x和y是一一对应的关系，所以此函数是一个一一映射，在此映射中，我们可以由原象x求得它的象2x，因为是一一映射，反过来也可以由象来求出原象，即若知道象y，我们可以它的逆对应法则来求出原象x，对应法则为：：B->A（f：y->）然后，我们对比：y=2x和这两个函数，不难发现中的x和y其实就是y=2x中的x和y，只不过把位置调换了一下而已，我们就把叫做y=2x的反函数，为了符合书写习惯，我们一般把写成。也就是说：y=2x

3、和互为反函数，对于反函数，我们应该始终保持一颗警觉的心，即清楚原函数和反函数的定义域和值域是相互颠倒的，作为一个崭新锃亮的概念，我们还要清楚反函数的一下特性：1.如果y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么y=f-1(x)的反函数是y=f(x)，它们互为反函数。2.并不是所有的函数都有反函数。如y=x2（可作映射说明）,只有决定函数的映射是一一映射的这个函数才有反函数。3.两个函数互为反函数一定有：原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域4.两个互为反函数的函数，在坐标轴上一定关于

4、直线y=x对称。同学们应该还记得，在上一讲我们在最后的讲义中，对比过几个函数，我们不妨再把它们的图像画出来：容易看出：关于直线y=x相互对称，也关于直线y=x相互对称。这是互为反函数的两对经典函数。知识点是简单的，题却是难的。经典例题：1.求,的反函数.　　解:由得,又得,故所求反函数为.由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而原函数的值域是所以反函数为　　解:由得,又得,　　又的值域是,　　 故所求反函数为,.2.求函数（-1≤x<0）的反函数。解：∵-1≤x<0∴0

5、0

6、的图像．解(1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，解(2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，它们的图像如图2．4－2所示．6.(1)求它的反函数；(2)求使f-1(x)＝f(x)的实数a的值．令x＝0，∴a＝－3．或解由f(x)＝f-1(x)，那么函数f(x)与f-1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x

7、x≠a，x∈R}，值域y∈{y

8、y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．7.试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身．令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．事实上，当a＋d＝

9、0时，必有f-1(x)＝f(x)，因此所求的条件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．8.设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f-1(x)，(2)证明f-1(x)在其定义域内是减函数．解法(二)由函数y＝f(x)与其反函数y＝f-1(x)之间的一一对应关因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y＝x对称，∴函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．今日作业： (一)选择题1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是[]2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的

10、定义域是[]A．[0，＋∞)　　　　　　　　　　　　　B．[－∞，1]C．(0，1]　　　　　　　　　　　　　　　　D．(－∞，0][]A．y＝2－(x－1)2(x≥2)B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)C．y＝2－(x－1)2(x≥1)D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)4．下列各组函数中互为反函数的是[]5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[]A．若y＝f(x)