同步讲台第三讲·函数与反函数

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1、同步讲台第三讲函数与反函数●知点考点答点（1）数集到数集的映射——函数函数不是“数”，他是非空数集A，B中、元素间的一种对应关系“f”。对于f，若：（Ⅰ）A中任一元，B有唯一象——则f便成为“映射”。（Ⅱ）B中任一元，都是A中象——则f便成为“满映射”。此时的f便是“函数映射”。（Ⅲ）A中不同元，B中不同象——则f便成为“单映射”。（Ⅳ）单射且满射，映射多漂亮——则f成为“一一映射”，此时f的“逆映射”f－1存在。【例1】已知集合A=｛x

2、1≤x≤9，x∈Z

3、｝，B=｛（a，b）

4、a，b∈A｝。集合B到集合Z上的映射f：（a，b）→ab+a－b。试求：（1）无素（1，3）在映射f下的象；（2）

5、f下，满足（a，b）→16的原象。【分析】这里有3个集合A，B，Z。而映射是f是B到Z的映射，B→Z。集合A是用来描述集合B的。【解答】（1）元素（1，3）∈B，在映射法则f：（a，b）→ab+a－b的作用下的象是1×3+1－3=1，且1∈Z。故所求的象为1。（2）求原象，即求数对（a，b）的值由ab+a－b=16得a=又a，b∈A，故有1≤b≤92≤1+b≤10。又a，b都是1到9之间的整数，故1+b只能取3或5。由此得。故16的原象是（6，2）或（4，4）。【点评】从本例看到，映射f是一种对应法则，这个法则指导我们对第一个集合中的任意元素，找到它在第二个集合中的象。所以，对应法则就是“对象

6、法则”。分析例1中f的性质：（Ⅰ）对应法则f下的象是唯一的。故f成为映射。（Ⅱ）数对（a，b）不是单个的数a或b，即集合B不是数集，故f不是函数映射。第6页（共6页）（Ⅲ）f下，象的原象不唯一，故f不是单映射；（Ⅳ）Z中元素无限，而B中元素有限，故f不是满映射，由此也知道f不是函数映射。（Ⅴ）f既不是满射，又不是单射，当然不是——映射，自然f的的逆映射也不存在。【探究】将例1作如下的改编：已知集合A=Z，B=｛0，1，2｝，由z∈A到b∈B的对应法则f为：z→b：（k∈Z）试判定：本对应法则f能否确定一个函数？【解析】分析对应法则f及集合A和B（Ⅰ）对任意的元素z∈A，在集合B中有唯一的象与之

7、对应。（Ⅱ）集合B中的任意元素0或1或2，在A中都有原象，故f为满映射。（Ⅲ）集合A、B都是数集。故对应法则f，能确定定义域为A，值域为B的一个函数：b=f（z）。【点评】由此看到，函数的对应法则f不一定是个“公式”，但作为法则，绝对是个可靠的方法：能让我们由A中元素z在B中找到z的唯一的象f（z）=b。当然，能用“公式”表示的法则f则为我们研究函数提供更大的方便。（2）解析函数——A、B、f三位一体我们熟悉的二次函数y=f（x）=x2+2x－1就是一个用公式表示对应法则的“解析函数”。对此二次函数：（Ⅰ）对应法则f：x→x2+2x－1=y（Ⅱ）定义域A，x的取值范围由解析式（公式）中x的“许

8、可值”而自然确定：A=R。（Ⅲ）值域B，由定义域A和解析法则f确定：B：=[－2，∞]。解析函数的“定义域A，对应法则f和值域B成三位一体”。这为我们研究函数提供了极大的方便。【例2】（07.渝卷.13题）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围为_________。【分析】这里的f（x）是个解析函数。f（x）的定义域A，对应法则f和值域B会由解析式确定。显然本题与值域无关，但解析式中含有参数a，问题就变成了求函数定义域的“逆”：已知函数的定义域为R，求参数a的取取值范围。【解答】函数f（x）=的定义域由解析式确定：（恒成立），也就是（恒成立）。令，则第6页（共6页）的图象是开口向上的抛线

9、，这条抛物线恒在x轴上方或与x轴相切，必须且只须（答案）【点评】解析函数是用解析式（公式）表示的函数，函数的“三要素”集于“式子一身”，因此，解析函数解析式的丰富内涵，需要全面而深入地去挖掘，才能得到所期待的内容及其方法。如本解中运用到的“判别式法”，就是在“挖掘”中想到的，而事先未必有所期求。（3）反函数——一一映射的“逆”当映射f：x→y是一一映射时，则f的逆映射也同时存在，即f－1：y→x。若f对应的函数记作：y=f（x），则f－1对应的函数则为x=f－1（y）。它们是一对互反函数，显然共有x∈X，y∈Y。X在y=f（x）中是定义域，在x=f－1（y）中是值域。Y在y=f（x）中是值域，

10、在x=f－1（y）中是定义域。注意，当y=f（x）的反函数用符号y=f－1（x）表示时，则是X1=Y2，X2=Y1。即原函数的定义域X1是反函数的值域Y2，而原函数的值域Y1是反函数的定义域X2。这点常为初学者弄混。【例3】（07.鄂文卷第4题）函数的反函数是（）A．B．C．D．【分析】本题有直接解法或间接解法的考虑。【解答1】（直接解法）把原函数的解析式看作方程式，从方程中解出x=log2。然后