函数的性质、反函数·函数的单调性·例题

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1、函数的性质、反函数·函数的单调性·例题 例1-5-1 下列函数中，属于增函数的是[   ]解 D例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的  [   ]A．上半平面                              B．下半平面C．左半平面                              D．右半平面解 C 因为k＜0，b∈R．例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是  [   ]A．a≥3                        

2、              B．a≤-3C．a≤5                                      D．a=-3解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3．例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)      [   ]A．在区间(-1，0)内是减函数B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数D．在区间(0，2)内是增函数解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数．+bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“

3、减”)．解 [-2，1]已知函数的定义域是-5≤x≤1．设u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即注 在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．例1-5-7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同函数；y=[f(x)]2是单调______函数．解 递减；递减；递增．例1-5-8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数；解 (1)任取x1＜x2＜0，则所以         f(x1)＞f(x2)．故f(x)在

4、(-∞，0)上递减．(2)任取0＜x1＜x2，则当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．例1-5-9 已知f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式f(x)=0的实数值x至多只有一个．解 设x1，x2∈R，且x1＜x2，则所以f(x1)＞f(x2)．所以y=f(x)是R上的减函数．假设使f(x)=0成立的x的值有两个，设为x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)=f(x2)=0但因f(x)为R上的减数，故有f(x1)＞f(x2)．矛盾．所

5、以使f(x)=0成立的x的值至多有一个．例1-5-10 定义域为R的函数y=f(x)，对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，判断当x∈(-∞，a)时，函数y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．解 当x∈(-∞，a)时，函数是增函数．设x1＜x2＜a，则2a-x1＞2a-x2＞a．因为函数y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以f(2a-x1)＜f(2a-x2)注意到对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数a-x1，也有f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即f(2a-x1)=f(x1)．同理

6、f(2a-x2)=f(x2)．所以f(x1)＜f(x2)，所以函数y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．例1-5-11 设f(x)是定义在R+上的递增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)(2)若f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围．(2)因为f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是由题设有