函数的单调性·典型例题精析

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1、2．3．1函数的单调性·例题解析 【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y＝

2、x2＋2x－3

3、解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝

4、x2＋2x－3

5、的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．

6、PGN>∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a4的取值范围．解当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．若a＜0时，无解．∴a的取值范围是0≤a≤1．【例3】已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f

7、(6)与f(4)解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)时为减函数．解任取两个值x1、x2∈(－1，1)，且x1＜x2．当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．4又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定

8、义域内两个值x1、x2，且x1＜x2．∴当0＜x1＜x2≤1或－1≤x1＜x2＜0时，有x1x2－1＜0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x1＜x2或x1＜x2≤－1时，有x1x2－1＞0，x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．42°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运

9、用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1

10、以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6证明函数单调性一般用的是定义法证明,例:证明f(x)=x^m-2/x在(0,正无穷)的单调性解:设:x1,x2属于(0,正无穷)且x2>x1f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-x2+2/x2=(x1-x2)-2/x1+2/x2=(x1-x2)-2x2+2x1/x1x2=(x1x2+2)(x1-x2)/x1x2∵x2>x1∴x1x2+2>0x1-x2>0x1x2>0∴f(x1)>f(x2)∴f(x)在

11、(0,正无穷)上为增函数奇偶性分为奇函数和偶函数奇函数只需证明f(-x)=-f(x)偶函数只需证明f(-x)=f(x)(切记:在判断奇偶性之前要先看定义域,如果定义域关于y轴对称,那么就是奇函数,带入即可算出,如果关于原点对称,那么就是偶函数,带入即可算出,)4