任意角的三角函数·典型例题精析

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1、任意角的三角函数·典型例题精析 例1　下列说法中，正确的是[　　　]A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键．【解】第一象限的角可表示为｛θ

2、k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ

3、0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ

4、θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ

5、0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第

6、一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)．(90°－α)分别是第几象限角？【分析】　由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，的角．(2)因为　180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．(3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，所以　－180°－k·36

7、0°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．故　－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)．因此90°－α是第四象限的角．解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内．【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的例5　一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．【分析】解答本题，需灵活运用弧度制下的求弧长和求面积公式．本题是求扇形面积的最大值，因此应想法写出面积S以半径r为自变量的函数表达式

8、，再用配方法求出半径r和已知周长l的关系．【解】设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为l－2r．所以【说明】在学习弧度制以后，用弧度制表示的求弧长与扇形面积公形的问题中，中心角用弧度表示较方便．本例实际上推导出一个重要公式，即当扇形周长为定值时，怎样选取中心角可使面积得到最大值．本题也可将面积表示为α的函数式，用判别式来解．．例4(1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值；【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是三两个象限，因此必须分两种情况讨论．【解】(1)因为x＝3k，y=－4k，例3　已知集合E=｛θ

9、c

10、osθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ

11、tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间[　　　]【分析】　解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易．【解法一】　由正、余弦函数的性质，【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当应选(A)．可排除(C)，(D)，得(A)．【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tan

12、θ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习．【分析】第(1)小题因α在第二象限，因此只有一组解；第(2)小题给了正弦函数值，但没有确定角α的象限，因此有两组解；第(3)小题角α可能在四个象限或是轴线角，因此需分两种情况讨论．【解】(3)因为sinα=m(

13、m

14、＜1)，所以α可能在四个象限或α的终边在x轴上．1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．解 ∵sinα＜0∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)(2)若α在第四象限，则例．已知tanα＝2，则(1)＝________；(2)＝________；(3)4sin2α－3

15、sinαcosα－5cos2α＝________.解析：(1)注意到分式的分子与分母均是关于sinα、cosα的一次齐次式，将分子、分母同除以cosα(∵cosα≠0)，然后整体代入tanα＝2的值．＝＝＝－1.(2)注意到分子、分母都是关于sinα、cosα的二次齐次式，∵cos2α≠0，分子、分母同除以cos2α，有＝＝＝.∴应填.(3)要注意到sin2α＋cos2α＝1，4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝＝＝1.应填1.