复合函数与反函数

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1、§1.3复合函数与反函数一、复合函数y=sinu,y=sin(x2+1)u=x2+1y=sin(x2+1)y=sinu,u=x2+1是由复合而成的复合函数。u中间变量或者说y=sin(x2+1)y=sinu与u=x2+1是的复合函数。设函数z=f(y)定义在数集B上,函数y=(x)定义在数集A上,G是A中使y=(x)B的x的非空子集，即定义G={x

2、xA,(x)B}≠xG，按照对应关系,对应唯一一个yB,再按照对应关系f对应唯一一个zR.这样，对xG，都有唯一的z与之对应。xy=(x)fz=f(y)=f[(x)]于是在G上定义了一个函数h，表

3、为f，称为函数y=(x)与z=f(y)的复合函数。即：h(x)=(f)(x)=f[(x)]xGy中间变量z=lny,y=1+exz=ln(1+ex)可推广到若干个函数构成的复合函数：y=lnu,u=1+ev,v=sinxy=ln(1+esinx)中间变量u,v**（1）一般地，对两个函数f、g，有fg≠gf（2）对任意函数f、g、h，有（fg）h=f（gh）例1.函数是由哪些函数复合而成的？解：以上过程称为对复合函数的分解**例2.已知:求:解：二、反函数已给函数y=ln(x3+1)f:xln(x3+1)=y对任意的x(-1,+)，对应唯一一个y。反之，给定一个

4、y(-,+)，通过上述的对应关系，也对应唯一一个x：yx=(ey–1)1/3称为函数y=ln(x3+1)的反函数。这个对应关系确定了(-,+)上的一个函数。定义不是每一个函数都有反函数。**什么函数才有反函数？对应关系是一一对应的函数才会有反函数。函数y=x2在区间（-，+）上没有反函数函数y=x2在区间（0，+）上有反函数函数y=x2在区间（-，0）上有反函数（略）单调函数有反函数。例。求函数y=ex+1的反函数解：y=ex+1ex=y-1x=ln(y-1)（1）函数y=f(x)与函数x=f-1(y)互为反函数。**（2）函数y=f(x)的反函数x=f-1

5、(y)一般记为y=f-1(x)如:函数y=ex+1的反函数为y=ln(x-1)（3）函数y=f(x)与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。M(a,b)M’(b,a)三、初等函数1。基本初等函数以下六种简单函数称为基本初等函数（1）常数函数y=C(C为常数)（2）幂函数y=x(R为常数)（3）指数函数y=ax(a>0,a1)（4）对数函数y=logax(a>0,a1)（5）三角函数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx（6）反三角函数y=arcsinxy=arccosy=arctanxy=arccotxy=arcsecxy=

6、arccscx对每一个基本初等函数，要了解它们的定义域、性质、图象。2。初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而成的函数,称为初等函数。都是初等函数.都不是初等函数都是初等函数双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切双曲正割双曲余割