两种特殊的温贮备系统的可靠性

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1、66数学教学研究第28卷第4期2009年4月两种特殊的温贮备系统的可靠性程晓燕西北师范大学数学与信息科学学院．甘肃兰州摘要：本文讨论了元件寿命服从Makeham分布和Gompertz分布的温贮备系统的失效率函数关键词：Makeham分布；Oompertz分布；LinearFailureRate分布；温贮备系统中图分类号：O211．671引言系统的可靠性是现代社会中人们普遍关注的问题．显然系统的可靠性取决于系统的结构以及组成系统的各个元件的可靠性．贮备技术已成为提高系统可靠性的重要技术．元件的贮备通常有冷贮备、热贮备和温贮备三种类型：冷贮备元件在贮备期间既不劣化也不失效，热贮备元件在贮备期

2、间自始至终都处于工作状态，而温贮备是介于这两者之间．很多学者对寿命为指数分布的元件组成的贮备系统进行了系统的研究，并取得了一系列深刻的研究成果．读者可参阅Aven(1990)，Birolini(1990)，Ebeling(1997)，Rausandandhq~yland(2004)，Ravichandran(1990)，SheandPecht(1992)以及Vanderperre(2O04)等工作．Cha(2008)等人对温贮备系统进行了模拟，得到了温储备系统的可靠函数．基于Cha(2008)等人的工作，在本文中我们将进一步讨论服从两种不同分布的温贮备系统的可靠性．2温贮备系统寿命分布的

3、模拟在温贮备系统中，备用元件一直在较为温和的环境下运行．一旦工作元件失效，备用元件立即替代失效元件进入工作装态以确保系统的正常运行．因此模拟温备用元件的运行状况并把温备用元件在替换时刻的年龄转换成正常运行环境下的年龄就显得尤为重要．加速寿命试验(AIT)被广泛应用于高可靠性长寿命元件的寿命检验．在ALT中，实验元件要承受比正常工作环境更高的工作强度．有关ALT更详细的讨论可参阅Nelson(1990)和Escobar(1993)．受ALT思想的启发，Cha等人(2008)提出了下面的模型：设元件C在正常工作环境和温贮备状态下的寿命分别为X和X，X和X的分布函数分别为F()和Fdj(t)．

4、显然X≤X．．(1)于是存在一个单调递增的函数’，(￡)≤￡(f≥0)，使得F()一F(y(()))，≥0．(2)．假设温贮备元件在(o，]没有失效，并在时刻“替代失效元件进人工作状态．不妨设贮备元件在时刻“的寿命为，从此刻M开始，贮备元件将进入正常的工作状态．注意到转入正常环境以后元件的实际年龄叱要比“大，因此，元件的生存函数可以表示为收稿日期：2008—11—24基金项目：甘肃自然科学基金资助项目(ZS一011一A25—024一G)，甘肃省教育厅科研基金资助项目(041—14)作者简介：程晓燕(1983一)，女，甘肃静宁人，硕士研究生．主要研究方向为应用概率统计和金融数学．第28卷第

5、4期2009年4月数学教学研究67一exp{一』：r(c()十s)d)，t≥。．(3)这里由()满足面(“)≤M，V“≥0，面(0)一0，并假设它是一个单调递增的函数．方程(3)说明元件在温和状态(0，]下工作与在正常环境(0，面(“)]下工作是一样的．而函数面()表示由温和环境引起的推迟年龄过程．3系统运行的估计设X是温贮备元件在工作状态下的寿命，厂(￡)，F(￡)，F(￡)和r(￡)分别是其密度函数、累积分布函数、生存函数和失效率函数．类似地，Y，g(￡)，G(T)，G(￡)和(￡)是工作元件的寿命、密度函数、累积分布函数、生存函数和失效率函数．我们假定X和y是独立的．设T和R(￡)

6、为温贮备系统的寿命和可靠函数．记x为工作元件失效后温贮备元件的剩余寿命，定义f0，工作元件失效前温贮备元件已经失效，【1，工作元件失效时刻温贮备元件仍存活，则P{X一0IY一，J一0)一1，且P(x>￡ly—z￡，j一1)一，f≥。．得到P(J一0ly一)一F(y())和P(一0Iy一)一F(y())．下面的引理是来自Cha(2008)的一个结果，它是本文的理论基础．引理温贮备系统的可靠函数为rtrIr卜nr)R(￡)一exp{-1(5)ds)+Iexp{一Ir(c()+s)ds}exp{-lr()ds)g(“)du．(4)现在我们开始考虑两类特殊的温贮备系统的失效率函数．例1(元件寿命

7、服从Mateham分布的温贮备系统)假设元件的失效率函数为(f)一1+e，￡≥0和，．(￡)一1+e，￡≥O．若y(￡)：at，￡≥0，0(a(1，面()一，￡≥O，o